MENSAJE DEL COMITE POLITICO DE LYNDON LAROUCHE "LAROUCHEPAC"
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http://larouchepac.com/news/2007/11/08/larouche-te-lo-advierte-de-nuevo-el-sistema-del-d-lar-ya-rev.html
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ARTÍCULO EN INGLÉS
The Dollar System Has Crashed: Will You Now Act To Save the Nation?
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Tras repasar los acontecimientos del 7 de noviembre en los mercados financieros y la economía internacional, el principal economista del mundo, Lyndon LaRouche, fue categórico en cuanto a las siguientes cuestiones:
1. El dólar estadounidense y el sistema financiero ya estallaron. No hay que discutir cómo la crisis del sistema "se avecina"; ya está aquí. El crac del sistema del dólar acarreará un estallido de todo el sistema financiero internacional. Hasta el servil presidente francés Nicolás Sarkozy advirtió ayer, al dirigirse al Congreso, que Washington pone en peligro a toda la economía mundial al permitir que el dólar se caiga a pedazos.
Pedazos del planeta que explotó vuelan ya por ahí como asteroides, ¡pero sólo un necio diría que los asteroides "van a provocar" la explosión! ¡El planeta estalló! Sólo un tonto o un mentiroso hablarían de algo como "una tendencia hacia una próxima crisis". La catástrofe la tenemos ahora.
Según el gobernador del banco de Inglaterra, Mervyn King, los banqueros centrales del orbe sostienen conferencias telefónicas a diario, pero han perdido toda apariencia de dominio del crac hiperinflacionario del dólar que tenemos en marcha. He aquí unos cuantos indicios:
* El dólar se hunde a un ritmo acelerado en relación con todas las demás monedas, lo que llevó a un vocero del acreedor más grande de Estados Unidos, China, a decir el 7 de noviembre que el dólar estadounidense está "perdiendo su condición como la moneda del mundo".
* La hiperinflación y la especulación han llevado el precio del petróleo a casi los 100 dólares, el del oro a más de 840, y el de la mayoría de las demás mercancías, entre ellas los alimentos, a aumentos de dos dígitos.
* Los bancos más grandes de EU, empezando por Citigroup y Merrill Lynch, reportan decenas de miles de millones de dólares en pérdidas, un hecho que está acarreando la depreciación de sus valores y la amenaza de que reviente todo el mercado mundial de los derivados financieros, de más de 750 billones de dólares. La inyección de decenas de miles de millones de dólares de la Reserva Federal ha sido inútil para parar la hemorragia.
* El desplome financiero está acelerando el ritmo de los embargos de viviendas, la devaluación del mercado multibillonario de los bonos municipales estadounidenses y el desfalco de los presupuestos estatales y municipales, al grado que plantea una amenaza clara e inminente para el bienestar del público.
¿Qué harán ahora quienes critican a LaRouche? Todos se equivocaron al negar este derrumbe, y ahora tienen que enfrentarlo. ¿Qué van a hacer? El sistema se desploma a su alrededor justo ahora. ¡Esto es peor que 1929, idiotas! ¡Este derrumbe traerá una nueva Era de Tinieblas!
2. El Gobierno de Cheney y Bush está en el descrédito absoluto, y cierta combinación de otras fuerzas tendrá que recoger los pedazos. En realidad el gobierno actual es un régimen postrado. Tanto el sistema financiero como el gobierno sólo pueden revivir con una nueva combinación política. Alguien tiene que restablecer el control sobre el dólar y sobre el funcionamiento del gobierno. Y vale más que dicha combinación empiece por poner en práctica la política del muro de contención que propone la ley de Protección a los bancos y Propietarios de Vivienda de LaRouche.
3. El problema es que la gente en posiciones de poder no atendió las advertencias de LaRouche de que este derrumbe era inevitable con su orientación actual. LaRouche se lo advirtió a Paulson, el secretario del Tesoro, cuando asumió el cargo; se lo advirtió una y otra vez a los dirigentes demócratas de la Cámara de Representantes y del Senado. Les dijo que tenían que intervenir para congelar el sistema y erigir un muro de contención que proteja a la población y a los bancos, como un paso hacia la reorganización total por bancarrota del quebrado sistema financiero.
Seamos francos, nadie, ni nosotros ni la dirigencia actual, va a salvar al sistema financiero. No puede salvarse. Vamos a salvar a la nación y la economía, pero sólo un nuevo sistema financiero puede hacerse cargo del rescate. Y vale más que el primer y sencillo paso sea poner en vigor de inmediato la legislación del "muro de contención" que LaRouche indicó.
Hay que decirle a todos que todas las demás alternativas están desacreditadas. ¡Ahora es el momento de imponer la única solución, la ley de LaRouche!
LEER EL ARTÍCULO RELACIONADO: LaRouche habla sobre el derrumbe del dólar: Crear un Nuevo Bretton Woods y poner fin a la sociedad posindustrial
domingo, 11 de noviembre de 2007
viernes, 2 de noviembre de 2007
Pedagogía para jóvenes científicos - Llegando a la raíz cuadrada del problema matemático
A CONTINUACION UN ARTICULO TOMADO DE LA PAGINA WEB DEL INSTITUTO SCHILLER.
Ciencia y cultura
Artículos especiales
Pedagogía para jóvenes científicos
Llegando a la raíz cuadrada del problema matemático
por Elijah C. Boyd
No hay nada más seguro para evitar que los niños caigan en varias categorías de estupidez que existen en los Estados Unidos, y en otras partes, que ocuparlos en construcciones geométricas simples. Cualquiera puede hacer estas construcciones, con tal de que sepa escribir o dibujar, y ejercitar sus propios poderes cognoscitivos. Son estos poderes los que las prácticas normales del salón de clases rechazan, si no es que los destruyen.
Primero, dibuja un cuadrado
Ahora, dibuja una raíz cuadrada.
No, no el símbolo conocido como el radical y la barra sobre él, el vínculum, sino lo que representa el símbolo: la propia raíz cuadrada.
Uf, ¿cuál es el problema? ¿Qué dices, que se te congeló el cerebro? Bueno, abordemos esto desde otro ángulo.
Multiplicando fracciones
Mejor resolvamos el problema de multiplicación de fracciones más sencillo del mundo. Multiplica 1/2 por 1/2 usando el cuadrado que acabas de construir. Ahora, quizás lo primero que tu mente se pregunte cuando enfrente la tarea de multiplicar 1/2 por 1/2 sea, ¿un medio de qué?
¡Ajá! Tratemos de usar el cuadro para esto. Queremos encontrar 1/2 en este cuadrado, así que lo cortamos a la mitad.
Cuando cortamos verticalmente el cuadrado a la mitad, obtenemos una de nuestras fracciones, es decir, el primer 1/2.
Luego, cortamos el mismo cuadrado a la mitad de forma horizontal para conseguir la segunda fracción. Ahora, marca la base y el lado izquierdo del cuadrado 0, 1/2, 2/2, como se muestra.
Este es el paso más importante, así que presta mucha atención: toma tus dos dedos índices y colócalos en la esquina marcada 0. Mueve solamente el índice derecho hasta la línea marcada 1/2 y ¡detente! Ahora, mueve ambos índices hacia arriba, hasta la línea marcada 1/2.
Seguir Leyendo...
Colorea el pequeño cuadrado que cubriste con tus dedos, dentro de los límites de 1/2 por 1/2. Ahora numera los cuadrados.
¿Qué acabamos de lograr?
Bueno, vemos que comenzamos con un cuadrado en blanco. Dividimos ese cuadrado a la mitad, lo que nos dio un cuadrado con dos partes. Luego dividimos de nuevo el cuadrado a la mitad, y obtuvimos un cuadrado con un total de cuatro partes: cuatro cuadrados pequeños. Y coloreamos uno de estos. Así, multiplicamos 1/2 × 1/2 = 1/4.
Ahora, practica el proceso anterior multiplicando 2/3 por 3/4, de forma geométrica. Con este método, en vez de memorizar, cualquiera puede ver de qué se trata la multiplicación. Ahora tenemos el modelo para multiplicar cualquier fracción por cualquier otra fracción. Pero también logramos algo que nos permite usar nuestra razón para adentrarnos en el estudio de la filosofía y de la física.
¿Cómo estuvo la cosa?
Ahora intentemos encontrar la raíz cuadrada de 0,81. Puedes representar esto usando el símbolo del radical y el vínculum encima de 0,81. Sí, ya sé que se supone que estemos contestando la pregunta de qué es una raíz cuadrada, ¡pero sé paciente!
Primero, ¿cuánto es 10 por 10? Todos saben que es 100. Bueno, dibujemos eso, un gran cuadrado de 10 unidades por 10 unidades, que tendrá 100 unidades dentro de él; es decir, 100 cuadritos.
Bueno, ¿cuánto es 8 por 8? Todos saben que es 64. Y 9 por 9 es 81. Puedes ver cómo funciona esto en el cuadrado grande, moviendo tu índice sobre la base (o la parte superior) del cuadrado grande, 9 cuadritos, y el otro dedo, comenzando desde el mismo punto y hacia arriba (o hacia abajo), 9 cuadritos, y coloreando el área del cuadrado que cubriste.
Podemos usar el mismo enrejado de 10 × 10 para las fracciones de 1. Al dividir todos los números de la base, 1, 2, 3, 4, etc., entre 10, tendremos 0,1, 0,2, 0,3, 0,4 y así sucesivamente. Y si hacemos lo mismo del lado izquierdo, contando 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, etc., entonces podemos ver que 0,9 por 0,9 nos da 0,81. ¡Voilà! Encontramos que las raíces cuadradas de 0,81 son 0,9 por 0,9 (del mismo modo que las raíces cuadradas de 1/4 son 1/2 por1/2).
Además, ahora vemos que las raíces cuadradas vienen en pares iguales y que se construyen como los dos lados de un cuadrado. Y vemos que es imposible construir un cuadrado, sin al mismo tiempo también construir sus raíces cuadradas, las cuatro, tomando dos a la vez, ¡de la forma que quieras! Pero hay algo más.
Observa el lado del cuadrado que dividiste a la mitad dos veces (1/2 por 1/2). ¿Podemos dividir el lado de 0 a 1/2 a la mitad? Sí, esto nos da 1/4; Y podemos terminar el proceso dividiendo el lado de 1/2 a 2/2, para producir 3/4.
Ahora viene la verdadera dificultad conceptual. Marcamos el cuadro coloreado como 1/4, ¿no es así? Pero ahora tenemos otro lugar marcado como 1/4. ¿Qué significa esto? 1/4 es igual a 1/4, ¿o no?
¡Presta atención!
Presta mucha atención. Aquí es donde uno normalmente se despista. Tenemos dos entidades geométricas diferentes: una es un área cuadrada, 1/4 de cuadrado, y la otra es una línea geométrica, 1/4 de línea. Ambas aparecen partes del mismo cuadrado que construiste, y a ambas las numeramos como 1/4, pero son diferentes. Una vez que la mente entiende esta distinción, ¡el misterio se esfuma y lo reemplaza la alegría de dominar un proceso mental!
Nosotros podemos aclarar esto: ¡las líneas no tienen raíces cuadradas! No obstante, después de construir el cuadrado, vemos que el área del cuadrado determina la línea, a la que también se conoce como la raíz cuadrada. Sin embargo, la línea sólo es un lado del cuadrado. Si el niño, o el padre o el maestro, a este respecto, omite de la investigación de los números y las matemáticas la distinción entre el área y la línea, ambos marcados como 1/4, las matemáticas pierden sentido.
Veamos de nuevo el primer cuadrado vacío. ¿Puedes ver dónde están las raíces cuadradas? ¡Ellas también te miran, riéndose, por que las atrapaste!
Si a ti o a tu hijo los privan de esto, porque las escuelas han eliminado del curso esta geometría de los cuadrados, lo que sucede es que el estudiante se convence a sí mismo, o a sí misma, de que las "raíces cuadradas", y todas las matemáticas superiores, son misteriosamente difíciles y, por tanto, algo que sólo "gente inteligente" puede entender.
¿Les suena familiar? Es por estos actos de omisión que el estudiante se "lava el cerebro" él mismo, y reduce sus expectativas. El siguiente paso en estas matemáticas de autolavado cerebral, es que evites siquiera pensar.
Una nueva paradoja
Ahora, veamos con mayor detalle nuestro segundo ejemplo: 2/3 × 3/4, que, como descubrimos, es igual a 6/12.
Dividimos esto en dos hileras, con seis cuadrados de un lado y los seis sombreados del otro. Así, podemos decir que 6/12 también es igual a un medio. ¡Pero espera! Algo no anda bien aquí.
En nuestro primer ejemplo, donde multiplicamos 1/2 × 1/2, empezamos con una cuadrado y terminamos con cuatro cuadrados pequeños, y nuestra respuesta fue uno de ellos, es decir, 1/4, pero todos los objetos eran cuadrados.
Aquí, empezamos con un cuadrado y terminamos con 12 rectángulos, y nuestra respuesta, 6/12 o 1/2, es un rectángulo. Ahora bien, ¿cómo hacemos un cuadrado de área 1/2? No un rectángulo, como el que tenemos ahora, sino un cuadrado de área 1/2. ¿Qué hacemos?
Si lees la historia del pobre Menón y su aventura con Sócrates, verás que tenemos el mismo problema que Menón y el niño esclavo enfrentaron; bueno, casi el mismo problema. De hecho, tenemos el problema contrario al de Menón, que debía construir un cuadrado el doble de grande que otro. En nuestro caso, debemos construir un cuadrado que sea la mitad de otro.
Hagamos esto abordando un problema aún más interesante: el temible teorema de Pitágoras (¡gulp!).
Este problema ha existido por varios miles de años, y quizás tu biblioteca tenga muchos libros sobre la historia de Pitágoras, su escuela y sus estudiantes. Algunos de ellos están llenos de dibujos interesantes, y (a veces) ecuaciones y fórmulas algebraicas que parecen muy complicadas. Pero juguemos un poco con lo básico.
Primero, regresemos al problema de 1/2 × 1/2 y coloquemos algunos cuadrados en nuestro punto cero, como muestra la figura.
Ahora, dibuja una línea desde el punto inferior marcado 1/2 hasta el punto del lado izquierdo también marcado 1/2. Esta nueva línea se llama diagonal. La línea diagonal corta nuestro pequeño cuadrado —cuya área, como sabemos, es 1/4— a la mitad, formando dos triángulos.
Formando cuadrados perfectos con un círculo
Hagamos un paréntesis aquí, y formemos un "cuadrado perfecto" doblando un círculo.
Primero, doblamos el círculo a la mitad, creando un línea llamada diámetro, que convierte el área circular doblada en un semicírculo.
Ahora, dobla este semicírculo a la mitad, creando un segundo diámetro, a 90 grados del primero.
Si desdoblamos el círculo veremos una cruz en el centro, formada por la intersección de ambos diámetros.
Ahora, dobla el círculo de nuevo y haz un tercer doblez por el arco, como muestra la figura.
Cuando abras el círculo verás adentro un cuadrado perfecto y cuatro triángulos, además de cuatro pequeños arcos del círculo sobre cada lado del cuadrado. ¿Empieza a aclararse todo?
Regresemos a nuestro primer cuadrado, con sus dos pequeños cuadrados en el "punto cero" y con nuestra diagonal que va del punto 1/2 en la parte inferior al punto 1/2 del lado izquierdo.
Ahora completemos nuestro trabajo dibujando las otras tres diagonales dentro de los otros tres cuadrados, y observa que las diagonales forman un nuevo cuadrado adentro del primero. ¿Cuál es el área del cuadrado que formamos con las diagonales?
Ahora podemos plantear el teorema de Pitágoras: si tomamos un triángulo formado por los lados de tres cuadrados, podemos sumar las áreas de los dos cuadrados conectados por un ángulo recto (90 grados), y esa área total será igual a la del tercer cuadrado.
La forma más fácil de explicar esto es: "A cuadrada más B cuadrada es igual a C cuadrada". La "fórmula" se escribe A² + B² = C², y no es más que otro de los truquitos del álgebra usados para convencer a los estudiantes de que no tienen la inteligencia para convertirse en "verdaderos científicos" o para participar en temas importantes de "alto vuelo" intelectual. Repito mi advertencia: la mayoría de los libros de texto son totalmente engañosos a este respecto.
El problema más escandaloso y obvio es que ¡no hay cuadrados en los ejemplos de los libros de texto, sólo álgebra.
Pero, si regresamos al círculo en el que inscribimos un cuadrado, podemos amansar a nuestro monstruo con geometría. Recorta el cuadrado, y luego recórtalo por sus diagonales. Ahora tenemos cuatro triángulos. Pon el cuadrado sobre una hoja de papel y dibuja su contorno. Ahora, toma dos de los triángulos, acomódalos en la forma de un pequeño cuadrado y a los otros dos triángulos como otro cuadrado.
Ahora reconstruye el modelo y nombra las partes resultantes de nuestra pequeño rompecabezas: cuadrado A + cuadrado B = cuadrado C.
Si observamos los lados que forman y rodean al triángulo, podemos llamar a a los lados del primer cuadrado pequeño, b a los del segundo cuadrado, y c a los del cuadrado más grande. Entonces, sin olvidarnos de que el lado de un cuadrado es meramente el límite del área que encierra el cuadrado, y que esa área la construimos arrastrando el lado hasta cubrir la superficie necesaria, escribimos esa operación como a².
Ahora vemos lo que significa A², o a² (A cuadrada). También vemos que la fórmula A² + B² = C² implica recortar dos pequeños cuadrados y acomodarlos para formar un cuadrado más grande con las partes.
Los matemáticos investigan si esto siempre es verdad o no. Si intentamos hacer esto en una esfera, ¡no es cierto que A² + B² = C²!
Así que ya amansamos a nuestro monstruo. ¿O no? Veamos si realmente lo logramos.
La raíz cuadrada de 1/2 no es un entero; 1/4 de área no es igual a 1/4 de línea. Así, estamos compilando una serie de paradojas y perspectivas mejores para abordar los números, y nuestra idea de qué son estos (y de qué son nuestros propios poderes mentales).
Artículo publicado en la revista Resumen Ejecutivo de EIR de la 2da.quincena de agosto de 2003 - Vol.XX, núm.16.
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Mas artículos de Ciencia
El Instituto Schiller agradece su apoyo. Su colaboracion nos ayuda a publicar la Revista Fidelio, y también para organizar conciertos, conferencias, y otras actividades que representan intervenciones en la vida politica y cultural en este país y en el mundo
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Llegando a la raíz cuadrada del problema matemático
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No hay nada más seguro para evitar que los niños caigan en varias categorías de estupidez que existen en los Estados Unidos, y en otras partes, que ocuparlos en construcciones geométricas simples. Cualquiera puede hacer estas construcciones, con tal de que sepa escribir o dibujar, y ejercitar sus propios poderes cognoscitivos. Son estos poderes los que las prácticas normales del salón de clases rechazan, si no es que los destruyen.
Primero, dibuja un cuadrado
Ahora, dibuja una raíz cuadrada.
No, no el símbolo conocido como el radical y la barra sobre él, el vínculum, sino lo que representa el símbolo: la propia raíz cuadrada.
Uf, ¿cuál es el problema? ¿Qué dices, que se te congeló el cerebro? Bueno, abordemos esto desde otro ángulo.
Multiplicando fracciones
Mejor resolvamos el problema de multiplicación de fracciones más sencillo del mundo. Multiplica 1/2 por 1/2 usando el cuadrado que acabas de construir. Ahora, quizás lo primero que tu mente se pregunte cuando enfrente la tarea de multiplicar 1/2 por 1/2 sea, ¿un medio de qué?
¡Ajá! Tratemos de usar el cuadro para esto. Queremos encontrar 1/2 en este cuadrado, así que lo cortamos a la mitad.
Cuando cortamos verticalmente el cuadrado a la mitad, obtenemos una de nuestras fracciones, es decir, el primer 1/2.
Luego, cortamos el mismo cuadrado a la mitad de forma horizontal para conseguir la segunda fracción. Ahora, marca la base y el lado izquierdo del cuadrado 0, 1/2, 2/2, como se muestra.
Este es el paso más importante, así que presta mucha atención: toma tus dos dedos índices y colócalos en la esquina marcada 0. Mueve solamente el índice derecho hasta la línea marcada 1/2 y ¡detente! Ahora, mueve ambos índices hacia arriba, hasta la línea marcada 1/2.
Seguir Leyendo...
Colorea el pequeño cuadrado que cubriste con tus dedos, dentro de los límites de 1/2 por 1/2. Ahora numera los cuadrados.
¿Qué acabamos de lograr?
Bueno, vemos que comenzamos con un cuadrado en blanco. Dividimos ese cuadrado a la mitad, lo que nos dio un cuadrado con dos partes. Luego dividimos de nuevo el cuadrado a la mitad, y obtuvimos un cuadrado con un total de cuatro partes: cuatro cuadrados pequeños. Y coloreamos uno de estos. Así, multiplicamos 1/2 × 1/2 = 1/4.
Ahora, practica el proceso anterior multiplicando 2/3 por 3/4, de forma geométrica. Con este método, en vez de memorizar, cualquiera puede ver de qué se trata la multiplicación. Ahora tenemos el modelo para multiplicar cualquier fracción por cualquier otra fracción. Pero también logramos algo que nos permite usar nuestra razón para adentrarnos en el estudio de la filosofía y de la física.
¿Cómo estuvo la cosa?
Ahora intentemos encontrar la raíz cuadrada de 0,81. Puedes representar esto usando el símbolo del radical y el vínculum encima de 0,81. Sí, ya sé que se supone que estemos contestando la pregunta de qué es una raíz cuadrada, ¡pero sé paciente!
Primero, ¿cuánto es 10 por 10? Todos saben que es 100. Bueno, dibujemos eso, un gran cuadrado de 10 unidades por 10 unidades, que tendrá 100 unidades dentro de él; es decir, 100 cuadritos.
Bueno, ¿cuánto es 8 por 8? Todos saben que es 64. Y 9 por 9 es 81. Puedes ver cómo funciona esto en el cuadrado grande, moviendo tu índice sobre la base (o la parte superior) del cuadrado grande, 9 cuadritos, y el otro dedo, comenzando desde el mismo punto y hacia arriba (o hacia abajo), 9 cuadritos, y coloreando el área del cuadrado que cubriste.
Podemos usar el mismo enrejado de 10 × 10 para las fracciones de 1. Al dividir todos los números de la base, 1, 2, 3, 4, etc., entre 10, tendremos 0,1, 0,2, 0,3, 0,4 y así sucesivamente. Y si hacemos lo mismo del lado izquierdo, contando 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, etc., entonces podemos ver que 0,9 por 0,9 nos da 0,81. ¡Voilà! Encontramos que las raíces cuadradas de 0,81 son 0,9 por 0,9 (del mismo modo que las raíces cuadradas de 1/4 son 1/2 por1/2).
Además, ahora vemos que las raíces cuadradas vienen en pares iguales y que se construyen como los dos lados de un cuadrado. Y vemos que es imposible construir un cuadrado, sin al mismo tiempo también construir sus raíces cuadradas, las cuatro, tomando dos a la vez, ¡de la forma que quieras! Pero hay algo más.
Observa el lado del cuadrado que dividiste a la mitad dos veces (1/2 por 1/2). ¿Podemos dividir el lado de 0 a 1/2 a la mitad? Sí, esto nos da 1/4; Y podemos terminar el proceso dividiendo el lado de 1/2 a 2/2, para producir 3/4.
Ahora viene la verdadera dificultad conceptual. Marcamos el cuadro coloreado como 1/4, ¿no es así? Pero ahora tenemos otro lugar marcado como 1/4. ¿Qué significa esto? 1/4 es igual a 1/4, ¿o no?
¡Presta atención!
Presta mucha atención. Aquí es donde uno normalmente se despista. Tenemos dos entidades geométricas diferentes: una es un área cuadrada, 1/4 de cuadrado, y la otra es una línea geométrica, 1/4 de línea. Ambas aparecen partes del mismo cuadrado que construiste, y a ambas las numeramos como 1/4, pero son diferentes. Una vez que la mente entiende esta distinción, ¡el misterio se esfuma y lo reemplaza la alegría de dominar un proceso mental!
Nosotros podemos aclarar esto: ¡las líneas no tienen raíces cuadradas! No obstante, después de construir el cuadrado, vemos que el área del cuadrado determina la línea, a la que también se conoce como la raíz cuadrada. Sin embargo, la línea sólo es un lado del cuadrado. Si el niño, o el padre o el maestro, a este respecto, omite de la investigación de los números y las matemáticas la distinción entre el área y la línea, ambos marcados como 1/4, las matemáticas pierden sentido.
Veamos de nuevo el primer cuadrado vacío. ¿Puedes ver dónde están las raíces cuadradas? ¡Ellas también te miran, riéndose, por que las atrapaste!
Si a ti o a tu hijo los privan de esto, porque las escuelas han eliminado del curso esta geometría de los cuadrados, lo que sucede es que el estudiante se convence a sí mismo, o a sí misma, de que las "raíces cuadradas", y todas las matemáticas superiores, son misteriosamente difíciles y, por tanto, algo que sólo "gente inteligente" puede entender.
¿Les suena familiar? Es por estos actos de omisión que el estudiante se "lava el cerebro" él mismo, y reduce sus expectativas. El siguiente paso en estas matemáticas de autolavado cerebral, es que evites siquiera pensar.
Una nueva paradoja
Ahora, veamos con mayor detalle nuestro segundo ejemplo: 2/3 × 3/4, que, como descubrimos, es igual a 6/12.
Dividimos esto en dos hileras, con seis cuadrados de un lado y los seis sombreados del otro. Así, podemos decir que 6/12 también es igual a un medio. ¡Pero espera! Algo no anda bien aquí.
En nuestro primer ejemplo, donde multiplicamos 1/2 × 1/2, empezamos con una cuadrado y terminamos con cuatro cuadrados pequeños, y nuestra respuesta fue uno de ellos, es decir, 1/4, pero todos los objetos eran cuadrados.
Aquí, empezamos con un cuadrado y terminamos con 12 rectángulos, y nuestra respuesta, 6/12 o 1/2, es un rectángulo. Ahora bien, ¿cómo hacemos un cuadrado de área 1/2? No un rectángulo, como el que tenemos ahora, sino un cuadrado de área 1/2. ¿Qué hacemos?
Si lees la historia del pobre Menón y su aventura con Sócrates, verás que tenemos el mismo problema que Menón y el niño esclavo enfrentaron; bueno, casi el mismo problema. De hecho, tenemos el problema contrario al de Menón, que debía construir un cuadrado el doble de grande que otro. En nuestro caso, debemos construir un cuadrado que sea la mitad de otro.
Hagamos esto abordando un problema aún más interesante: el temible teorema de Pitágoras (¡gulp!).
Este problema ha existido por varios miles de años, y quizás tu biblioteca tenga muchos libros sobre la historia de Pitágoras, su escuela y sus estudiantes. Algunos de ellos están llenos de dibujos interesantes, y (a veces) ecuaciones y fórmulas algebraicas que parecen muy complicadas. Pero juguemos un poco con lo básico.
Primero, regresemos al problema de 1/2 × 1/2 y coloquemos algunos cuadrados en nuestro punto cero, como muestra la figura.
Ahora, dibuja una línea desde el punto inferior marcado 1/2 hasta el punto del lado izquierdo también marcado 1/2. Esta nueva línea se llama diagonal. La línea diagonal corta nuestro pequeño cuadrado —cuya área, como sabemos, es 1/4— a la mitad, formando dos triángulos.
Formando cuadrados perfectos con un círculo
Hagamos un paréntesis aquí, y formemos un "cuadrado perfecto" doblando un círculo.
Primero, doblamos el círculo a la mitad, creando un línea llamada diámetro, que convierte el área circular doblada en un semicírculo.
Ahora, dobla este semicírculo a la mitad, creando un segundo diámetro, a 90 grados del primero.
Si desdoblamos el círculo veremos una cruz en el centro, formada por la intersección de ambos diámetros.
Ahora, dobla el círculo de nuevo y haz un tercer doblez por el arco, como muestra la figura.
Cuando abras el círculo verás adentro un cuadrado perfecto y cuatro triángulos, además de cuatro pequeños arcos del círculo sobre cada lado del cuadrado. ¿Empieza a aclararse todo?
Regresemos a nuestro primer cuadrado, con sus dos pequeños cuadrados en el "punto cero" y con nuestra diagonal que va del punto 1/2 en la parte inferior al punto 1/2 del lado izquierdo.
Ahora completemos nuestro trabajo dibujando las otras tres diagonales dentro de los otros tres cuadrados, y observa que las diagonales forman un nuevo cuadrado adentro del primero. ¿Cuál es el área del cuadrado que formamos con las diagonales?
Ahora podemos plantear el teorema de Pitágoras: si tomamos un triángulo formado por los lados de tres cuadrados, podemos sumar las áreas de los dos cuadrados conectados por un ángulo recto (90 grados), y esa área total será igual a la del tercer cuadrado.
La forma más fácil de explicar esto es: "A cuadrada más B cuadrada es igual a C cuadrada". La "fórmula" se escribe A² + B² = C², y no es más que otro de los truquitos del álgebra usados para convencer a los estudiantes de que no tienen la inteligencia para convertirse en "verdaderos científicos" o para participar en temas importantes de "alto vuelo" intelectual. Repito mi advertencia: la mayoría de los libros de texto son totalmente engañosos a este respecto.
El problema más escandaloso y obvio es que ¡no hay cuadrados en los ejemplos de los libros de texto, sólo álgebra.
Pero, si regresamos al círculo en el que inscribimos un cuadrado, podemos amansar a nuestro monstruo con geometría. Recorta el cuadrado, y luego recórtalo por sus diagonales. Ahora tenemos cuatro triángulos. Pon el cuadrado sobre una hoja de papel y dibuja su contorno. Ahora, toma dos de los triángulos, acomódalos en la forma de un pequeño cuadrado y a los otros dos triángulos como otro cuadrado.
Ahora reconstruye el modelo y nombra las partes resultantes de nuestra pequeño rompecabezas: cuadrado A + cuadrado B = cuadrado C.
Si observamos los lados que forman y rodean al triángulo, podemos llamar a a los lados del primer cuadrado pequeño, b a los del segundo cuadrado, y c a los del cuadrado más grande. Entonces, sin olvidarnos de que el lado de un cuadrado es meramente el límite del área que encierra el cuadrado, y que esa área la construimos arrastrando el lado hasta cubrir la superficie necesaria, escribimos esa operación como a².
Ahora vemos lo que significa A², o a² (A cuadrada). También vemos que la fórmula A² + B² = C² implica recortar dos pequeños cuadrados y acomodarlos para formar un cuadrado más grande con las partes.
Los matemáticos investigan si esto siempre es verdad o no. Si intentamos hacer esto en una esfera, ¡no es cierto que A² + B² = C²!
Así que ya amansamos a nuestro monstruo. ¿O no? Veamos si realmente lo logramos.
La raíz cuadrada de 1/2 no es un entero; 1/4 de área no es igual a 1/4 de línea. Así, estamos compilando una serie de paradojas y perspectivas mejores para abordar los números, y nuestra idea de qué son estos (y de qué son nuestros propios poderes mentales).
Artículo publicado en la revista Resumen Ejecutivo de EIR de la 2da.quincena de agosto de 2003 - Vol.XX, núm.16.
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Funciones Hiperbólicas una fuga de 25 siglos
EL SIGUIENTE ES UN ARTÍCULO EXTRAÍDO DE LA PÁGINA WEB DEL INSTITUTO SCHILLER, QUE NOS MUESTRA LA BELLEZA DE LAS MATEMATICAS Y UNA LLAMADA DE ATENCIÓN PARA REFORMULAR LOS PROGRAMAS DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA AL RESPECTO.
AQUI LA PAGINA WEB:
http://www.schillerinstitute.org/newspanish/InstitutoSchiller/Ciencia/FuncHiperbolicas.html
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Ciencia y cultura
Artículos especiales
Funciones hiperbólicas: una fuga de 25 siglos
Bruce Director, autor de este artículo, da una clase sobre las catenarias a miembros del Movimiento de Juventudes Larouchistas.
por Bruce Director
Cuando por el año 370 a.C. un oráculo les ordenó a los delianos hacer más grande el altar de su templo —con forma de cubo—, Platón les dijo que mejor se olvidaran de todas las interpretaciones mágicas del oráculo y se concentraran en resolver el problema de doblar el cubo. Este es uno de los primeros relatos de la importancia de los ejercicios pedagógicos o espirituales para la economía.
Algunas crisis, como la que hoy enfrenta la humanidad, requieren un grado de concentración para resolver las paradojas que han perdurado más de lo que dura una vida humana. Por fortuna, la humanidad está dotada con lo que LaRouche llama "súper genes", que le dan al individuo la capacidad de un poder de concentración superior, al traer al presente los esfuerzos de generaciones pasadas. Una caso ejemplar es el de la tesis doctoral de Bernhard Riemann de 1854, Sobre las hipótesis que subyacen a los fundamentos de la geometría, en la que Riemann habla de una oscuridad que envolvió al pensamiento humano desde Euclides hasta Adrien–Marie Legendre. Tras más de 2.000 años de concentración en la materia, Riemann, apoyándose en su maestro Carl F. Gauss, develó esa oscuridad al desarrollar lo que llamó "un concepto general de magnitud múltiplemente extendida".
El concepto de Riemann amplió los descubrimientos que ya había hecho Gauss, empezando con su disertación de 1799 sobre el teorema fundamental del álgebra. Como su predecesor, es una devastadora refutación de los métodos de "torre de marfil" de Leonhard Euler, Louis de Lagrange, etc., que hoy dominan la forma de pensar de la mayoría de la población, tal como dominaron la mente de los delianos y otros desafortunados griegos en la época de Platón. Al reconocer que todos los problemas de la sociedad en última instancia eran subjetivos, Platón prescribió (en La República) que ese dominio de los ejercicios pedagógicos (en los campos de la música, la geometría, la aritmética y la astronomía) fuera un prerrequisito para ejercer el liderato político. Las crisis, como la que ahora enfrentamos (o la que enfrentaron los delianos), sólo podían superarse si los líderes desarrollaban la capacidad de liberarse a sí mismos, y después a otros, de sus falsas etiquetas.
Estos ejercicios acostumbran a la mente a tornar su atención, de las sombras de la percepción sensorial, al descubrimiento de verdades cognoscibles, aunque invisibles, que el dominio de los sentidos nos refleja como paradojas. El proceso no tiene fin, con cada nuevo descubrimiento surgen nuevas paradojas que dan pie a más descubrimientos, produciendo una concentración siempre mayor de la condición mental necesaria que produjo el descubrimiento en primer lugar.
Doblando la línea, el cuadrado y el cubo
Tal es el marco para concentrarse en los 2.500 años de investigación sobre las paradojas que el problema de doblar la línea, el cuadrado y el cubo plantearon inicialmente. A la vista, estos objetos parecen similares. El cuadrado se hace con líneas, mientras que el cubo lo componen cuadrados. Pero cuando estos objetos se someten a una acción, tal como el doblarlos, queda claro que aunque estos objetos parecen visualmente similares, su principio generador es muy diferente.
Los pitagóricos, que, como se sabe, aprendieron de los egipcios, fueron los primeros griegos en investigar esta paradoja. Al reconocer que todos estos objetos visualmente similares, pero cognosciblemente diferentes, están contenidos en un solo universo, buscaron un principio unificador que subyace en la generación de los tres. Ese principio unificador no podía observarse de forma directa, pero sí podía conocerse su existencia a través de su expresión, en la forma de una paradoja, buscando entre las sombras visibles.
Casi 80 años antes de que Platón reprendiera a los delianos, Hipócrates de Cos ofreció una noción basada en el principio pitagórico de la conexión entre la música, la aritmética y la geometría. Los pitagóricos reconocieron las relaciones entre los intervalos musicales, a las que llamaron: la aritmética y la geométrica. La media aritmética es diferencia en común de tres números: b−a = c−b. Por ejemplo, 3 es la media aritmética entre 1 y 5 (ver figura 1a).
Fig. 1a - La media aritmética
b es la medida aritmética entre a y c
La media geométrica es cuando 3 números están en proporción constante: a:b::b:c. Por ejemplo, 2:4::4:8 (ver figura 1b)
Fig. 1b - La media geométrica
La longitud b es la media geométrica entre las longitudes a y c.
El área B es la media geométrica entre las áreas A y C
Hipócrates reconoció que la relación aritmética la expresan los intervalos formados al agregar las líneas, y que la geométrica la expresan los intervalos creados al agregar cuadrados o, más en general, áreas. La formación de figuras sólidas, puesto que son de un poder superior, no corresponde directamente a ninguna de estas relaciones musicales. Sin embargo, la sombra proyectada al doblar el cubo, expresaba una relación que correspondía a encontrar dos medias geométricas entre dos extremos (ver figura 1c).
Fig. 1c - Dos medias geométricas entre sólidos
Las dos medias geométricas entre un cubo de arista 1 y volumen 1
y un cubo de arista 2 y volumen 8. Proporcionalmente, habrá dos
medias geométricas entre un cubo de volumen 1 y un cubo de volumen 2
Platón explica en el Timeo la importancia de la noción de Hipócrates:
"Ciertamente, lo generado debe ser corpóreo, visible y tangible. . . Pero no es posible unir bien dos elementos aislados sin un tercero, ya que es necesario un vínculo en el medio que los una. . . Si el cuerpo del universo hubiera tenido que ser una superficie sin profundidad, habría bastado con una magnitud media que se uniera a sí misma con los extremos; pero en realidad, convenía que fuera sólido y los sólidos nunca son conectados por un término medio, sino siempre por dos.".
En el Epinomis, Platón habla de las investigaciones de las medias geométrica y aritmética: "Algo divino y maravilloso es aquello que se contempla y que refleja cómo la totalidad de la naturaleza está impresa con especies y géneros de acuerdo a cada proporción como un poder. . . Para el hombre que realiza sus estudios de la forma adecuada, todas las construcciones geométricas, todos los sistemas numéricos, todas las progresiones melódicas debidamente constituidas, el sistema ordenado de las revoluciones celestes, deberían revelarse a sí mismos, y lo harán, si, como digo, un hombre hace sus estudios con la mente fija en un solo propósito. Como tal hombre lo refleja, recibirá la revelación de un simple lazo de interconexión natural entre todos estos problemas. Si maneja tales materias con otro espíritu, un hombre, como digo, necesitará invocar a su suerte. Debemos dejar sentado que, sin estas capacidades, la felicidad no llegará a ninguna sociedad; este es el método, este es el pábulo, estos los estudios exigidos; difícil o fácil, este es el camino que tenemos que seguir".
Mientras que la reacción inicial al planteamiento de Hipócrates fue que convirtió un rompecabezas imposible en otro, otros lo vieron como un flanco. Si la construcción de dos medias entre dos extremos puede realizarse "entre las sombras", el resultado puede aplicarse al problema de doblar el cubo. Un colaborador de Platón, Arquitas de Tarento, brindó una solución con su famosa construcción, que involucra un cilindro, un toro y un cono (ver figura 4a). Esto demostró que la construcción requerida sólo puede hacerse, no en el dominio plano de las sombras, sino en el dominio superior de las superficies curvas. El resultado de Arquitas es consistente con el descubrimiento de los pitagóricos, de Teetetes y de Platón de la construcción de los cinco sólidos regulares a partir de la esfera.
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El descubrimiento de Menecmo
Un alumno de Platón, Menecmo, hizo un descubrimiento adicional al demostrar que las curvas generadas a partir de conos tienen el poder de producir dos medias entre dos extremos. Como lo ilustran los diagramas, la parábola tiene la característica de ser una media entre dos extremos, mientras que la hipérbola abarca dos (ver figuras 2a y 2b).
Fig. 2a Las proporciones de una parábola
Fig. 2b Las proporciones de una hipérbola
Fig. 2a - La parábola la forma el ángulo móvil ABC, tal que el vértice B se mueve sobre la línea OB en tanto C se mueve sobre la línea OC. Esto forma el rectángulo cambiante OBPC. El punto P describe una parábola. Mediante triángulos similares, OA: OB::OB:OC o OC=OB²
Fig. 2b - La hipérbola la forma la esquina B del rectángulo OABC. En tanto los lados del rectángulo cambian, el área permanece constante. Esto mantiene la proporción 1:OA::OA:OAxAB
Menecmo demostró que la intersección de una hipérbola y una parábola produce el resultado de situar dos medias entre dos extremos (ver figura 3).
Fig. 3 - Determinación de Menecmo de dos medias usando secciones cónicas
La intersección de una hipérbola y una parábola determina las magnitudes que doblan el cubo. La parábola la forman OA=1 y el ángulo recto ABD. La hipérbola la forman OC² del rectángulo OBCD, que tiene un área de 2. En la parábola, OA:OB::OB:OD, o 1:OB::OB:OC². En la hipérbola, OBxBC=2. De la combinación de las dos anteriores se desprende la proporción, 1:OB::OB:BC::BC:2. En otras palabras, la línea OB formará la arista de un cubo de volumen 2 y BC formará la rista de un cubo de volumen 4
En los descubrimientos de Arquitas y Menecmo había un principio que no florecería del todo sino hasta 2.200 años después, con los descubrimientos de Riemann y Gauss. La solución de Arquitas dependía de una característica de la curva formada por la intersección del cilindro y el toro. Esta curva no podría dibujarse en una superficie plana, porque se curva en dos direcciones (ver figuras 4a y 4b).
Fig. 4a Construcción de Arquitas para doblar un cubo
Fig. 4b Intersección de un cilindro y un toro
Fig. 4a - Arquitas desarrolló una construcción para encontrar dos medias geométricas entre dos magnitudes. La longitud mayor es AC, que es el diámetro de un círculo. Ese círculo rota alrededor de A para formar un toro. Entonces se produce un cilindro prependicular al toro, cuyo diámetro también es AC. La magnitud menor AB es una cuerda de una sección transversal del toro. AB se extiende hasta que interseca al cilindro, formando un triángulo que, al girar, produce un cono. Las tres suprficies intersecan en el punto P.
Fig. 4b - La curva que forma la intersección de un cilindro y un toro posee una característica que Gauss llamó curvatura "negativa".
Sin embargo, Menecmo hace su construcción —que usa una parábola y una hipérbola— enteramente en el dominio plano de las sombras. Aunque por razones que no serían claras sino hasta la época de Godofredo Leibniz en el siglo 17, la solución de Menecmo funcionó porque involucraba el mismo principio de curvatura negativa que la de Arquitas.
Como casi no hay escritos originales, es difícil saber qué tan conscientes estaban estos antiguos investigadores griegos del principio que Gauss llamaría curvatura negativa. Lo que sí sabemos, es que estos griegos sabían que el principio que determina la acción en el universo físico es superior al que domina el mundo plano de las áreas. Así, los principios que gobiernan a los objetos sólidos dependen de curvas, generadas por un tipo de acción superior en el espacio, el cual, cuando se proyecta en el dominio inferior de un plano, tiene la capacidad de situar dos medias entre dos extremos. Estas curvas combinan la aritmética y la geométrica en una sola. Cuando este principio se aplica al dominio superior de los objetos sólidos, produce un resultado experimentalmente validable.
Esto demuestra, como Platón señala, no sólo un principio que gobierna al reino físico, sino la relación múlticonexa entre las dimensiones espiritual y material del universo; de ahí lo apropiado de los ejercicios pedagógicos o espirituales.
El estudio de Kepler de las secciones cónicas
El siguiente avance significativo lo hizo Johannes Kepler, quien estableció la ciencia física moderna como una extensión de estos antiguos descubrimientos griegos, tal como Nicolás de Cusa, Luca Pacioli y Leonardo da Vinci los redescubrieron. Kepler, citando a Cusa, a quien llamó "divino", dio una particular importancia a la diferencia entre la curva (geométrica) y la recta (aritmética). Kepler escribió en su Mystérium Cosmográphicum:
"Pero, después de todo, ¿por qué las distinciones entre la curva y la recta, y la nobleza de una curva, en la intención de Dios cuando creó el Universo? ¿Precisamente por qué? Salvo que para el Creador más perfecto fuera absolutamente necesario crear la más bella obra".
Como parte de su investigación astronómica, Kepler dominó Las Cónicas de Apolonio, que es una compilación de los descubrimientos griegos sobre estas curvas superiores. Como resultado de su investigación sobre la refracción de la luz, Kepler aportó un concepto nuevo y revolucionario de las secciones cónicas. Por primera vez, Kepler consideró a las secciones cónicas como una multiplicidad proyectiva:
"Entre estas líneas existe el siguiente en razón de sus propiedades: pasa de la línea recta, a través de una infinidad de hipérbolas, a una parábola, y de ahí, a través de una infinidad de elipses, al círculo. Así, por un lado la parábola tiene dos cosas en naturaleza infinitas, la hipérbola y la línea recta, la elipse y el círculo. Aunque también es infinito, asume una limitación en el otro lado. . . Por tanto, los límites opuestos son el círculo y la línea recta: el primero es curvatura pura, la última recta pura. La hipérbola, la parábola y la elipse están en medio, y participan de la recta y de la curva, lo mismo la parábola, y la hipérbola participa más de la recta, y la elipse más de la curva" (ver figura 5).
Fig. 5 - Concepto proyectivo de Kepler de las secciones cónicas
En tanto el foco se mueve a la izquierda, el círculo se transforma en una elipse. En el límite con el infinito, la elipse se convierte en una parábola. La hipérbola se forma "del otro lado" del infinito.
La discontinuidad que revela esta proyección entre la parábola y la hipérbola es importante para esta discusión. La hipérbola está al otro lado del infinito, por así decirlo, de la elipse y el círculo, mientras que un lado de la parábola va hacia el infinito y el otro hacia el finito.
De Fermat a Gauss
La importancia de estos límites infinitos comienza a aclararse desde la perspectiva de la reformulación de Las Cónicas de Apolonio por parte de Pierre de Fermat, y el desarrollo subsiguiente del cálculo por Leibniz y Jean Bernoulli, con un aporte crucial de Christian Huyghens.
Huyghens reconoció que la curva y la recta se expresan en la hipérbola de forma diferente que en las otras secciones cónicas. Su descubrimiento se basó en el mismo principio que reconoció Menecmo, de que a la hipérbola, cuando se proyecta sobre un plano, la forma una serie de rectángulos cuyas áreas son siempre iguales. En la medida en que uno de los lados de cada rectángulo se hace más largo, el otro lado se vuelve inversamente más pequeño. Huyghens centró su atención en el área que encierran la hipérbola y la asíntota, que es la que forma un rectángulo en cambio contante, cuya área siempre es la misma (ver figura 6).
Fig. 6 - Áreas hiperbólicas iguales
Las áreas entre 1 y 2 , 2 y 4 , y 4 y 8 , son todas iguales
Las áreas entre la hipérbola y la asíntota, formadas por rectángulos cuyos lados están en proporción son iguales. Del mismo modo, como ilustra el diagrama, aquellas secciones de la hipérbola formadas en tanto la distancia entre la asíntota y el centro aumenta geométricamente, son iguales. Por tanto, mientras las áreas crecen aritméticamente, las longitudes sobre la asíntota lo hacen geométricamente. No pases por alto la ironía de esta inversión: ¡en la hipérbola, las áreas (geométricas) crecen de forma aritmética, mientras que las longitudes (aritméticas) lo hacen de forma geométrica!
Leibniz descubrió que a esta relación combinada de la aritmética y la geométrica la expresa el principio físico de la catenaria. Leibniz demostró que a la catenaria la forma una curva, que él llamó logarítmica, conocida hoy como "exponencial". Esta curva esta formada de tal modo que el cambio horizontal es aritmético, mientras que el cambio vertical es geométrico. Leibniz demostró que la catenaria es la media aritmética entre dos curvas logarítmicas tales (ver figura 7).
Fig.7 - Construcción de Leibniz de la catenaria
Fig. 7 - La catenaria la forma la media aritmética entre dos curvas, a la que Leibniz llamó "logarítmica" y que hoy se conoce como exponencial. En la figura, las líneas están igualmente distribuidas sobre un eje horizontal. La curva "logarítmica" la forman las longitudes verticales que están en proporción geométrica. La catenaria se forma sumando la longitud e a la e', y dividiendo la longitud combinada entre 2, etc.
De aquí, pasamos directamente al descubrimiento de Gauss y Riemann, a través de otros descubrimientos de Leibniz y Bernoulli relacionados con la catenaria: la relación de la catenaria con la hipérbola.[1] Esta relación se forma a partir del descubrimiento de Huyghens. Las áreas hiperbólicas iguales definen ciertos puntos sobre la hipérbola que se "proyectan" sobre su eje, mediante líneas perpendiculares que van desde el eje hasta esos puntos. Estas proyecciones producen longitudes sobre el eje, como demostró Leibniz, ¡del mismo largo que las que produce la catenaria! (ver figuras 8a, 8b y 8c).
Fig. 8a - Proyección de áreas hiperbólicas iguales
Los puntos sobre la hipérbola que corresponden a divisiones iguales del área se proyectan
sobre el eje al dibujar líneas perpendiculares desde el eje hasta esos puntos. Esto produce
las longitudes, Ob, Oc, Od. Oa = 1
Fig. 8b - Medición entre la hipérbola y la cateriana
Fig. 8c - Relación entre la hipérbola y la catenaria
Las implicaciones de este descubrimiento quedan más claras cuando las vemos desde la perspectiva de la investigación de Gauss sobre las superficies curvas, que surge de su trabajo previo sobre geodesia, astronomía, el teorema fundamental del álgebra y los residuos bicuadráticos. Para completar esta discusión, concentrate en la ampliación de Gauss de la investigación sobre las curvas, a la investigación de las superficies que las contienen. A las superficies que contienen curvas con las características de la hipérbola o la catenaria, Gauss las llamó curvas "negativas", mientras que las superficies formadas por curvas con las características de los círculos y las elipses, las llamó curvas "positivas" (ver figuras 9a y 9b).
Ahora, vuelve a pensar en esta fuga de 25 siglos. El principio que subyace en las construcciones de Arquitas y Menecmo; la discontinuidad que expresa el límite infinito entre la hipérbola y la parábola; la inversión de la geométrica y la aritmética en la hipérbola: desde la perspectiva de Gauss, todo esto refleja una transformación entre la curvatura positiva y la negativa.
Por tanto, para investigar la acción en el universo físico, es necesario ampliar la investigación, de la simple extensión a una curvatura, y de las simples curvas a las superficies que las contienen. Esto sólo puede hacerse desde la perspectiva del dominio complejo de Gauss y Riemann.
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[1] Cabe señalar que este descubrimiento ha sido víctima del difundido asalto de Euler y Lagrange, mismo que Felix Klein y demás perpetuaron en el siglo 20, y la mera discusión de esto con cualquiera expuesto a una educación matemática académica de seguro provocará graves ataques de ansiedad.
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Ciencia y cultura
Artículos especiales
Funciones hiperbólicas: una fuga de 25 siglos
Bruce Director, autor de este artículo, da una clase sobre las catenarias a miembros del Movimiento de Juventudes Larouchistas.
por Bruce Director
Cuando por el año 370 a.C. un oráculo les ordenó a los delianos hacer más grande el altar de su templo —con forma de cubo—, Platón les dijo que mejor se olvidaran de todas las interpretaciones mágicas del oráculo y se concentraran en resolver el problema de doblar el cubo. Este es uno de los primeros relatos de la importancia de los ejercicios pedagógicos o espirituales para la economía.
Algunas crisis, como la que hoy enfrenta la humanidad, requieren un grado de concentración para resolver las paradojas que han perdurado más de lo que dura una vida humana. Por fortuna, la humanidad está dotada con lo que LaRouche llama "súper genes", que le dan al individuo la capacidad de un poder de concentración superior, al traer al presente los esfuerzos de generaciones pasadas. Una caso ejemplar es el de la tesis doctoral de Bernhard Riemann de 1854, Sobre las hipótesis que subyacen a los fundamentos de la geometría, en la que Riemann habla de una oscuridad que envolvió al pensamiento humano desde Euclides hasta Adrien–Marie Legendre. Tras más de 2.000 años de concentración en la materia, Riemann, apoyándose en su maestro Carl F. Gauss, develó esa oscuridad al desarrollar lo que llamó "un concepto general de magnitud múltiplemente extendida".
El concepto de Riemann amplió los descubrimientos que ya había hecho Gauss, empezando con su disertación de 1799 sobre el teorema fundamental del álgebra. Como su predecesor, es una devastadora refutación de los métodos de "torre de marfil" de Leonhard Euler, Louis de Lagrange, etc., que hoy dominan la forma de pensar de la mayoría de la población, tal como dominaron la mente de los delianos y otros desafortunados griegos en la época de Platón. Al reconocer que todos los problemas de la sociedad en última instancia eran subjetivos, Platón prescribió (en La República) que ese dominio de los ejercicios pedagógicos (en los campos de la música, la geometría, la aritmética y la astronomía) fuera un prerrequisito para ejercer el liderato político. Las crisis, como la que ahora enfrentamos (o la que enfrentaron los delianos), sólo podían superarse si los líderes desarrollaban la capacidad de liberarse a sí mismos, y después a otros, de sus falsas etiquetas.
Estos ejercicios acostumbran a la mente a tornar su atención, de las sombras de la percepción sensorial, al descubrimiento de verdades cognoscibles, aunque invisibles, que el dominio de los sentidos nos refleja como paradojas. El proceso no tiene fin, con cada nuevo descubrimiento surgen nuevas paradojas que dan pie a más descubrimientos, produciendo una concentración siempre mayor de la condición mental necesaria que produjo el descubrimiento en primer lugar.
Doblando la línea, el cuadrado y el cubo
Tal es el marco para concentrarse en los 2.500 años de investigación sobre las paradojas que el problema de doblar la línea, el cuadrado y el cubo plantearon inicialmente. A la vista, estos objetos parecen similares. El cuadrado se hace con líneas, mientras que el cubo lo componen cuadrados. Pero cuando estos objetos se someten a una acción, tal como el doblarlos, queda claro que aunque estos objetos parecen visualmente similares, su principio generador es muy diferente.
Los pitagóricos, que, como se sabe, aprendieron de los egipcios, fueron los primeros griegos en investigar esta paradoja. Al reconocer que todos estos objetos visualmente similares, pero cognosciblemente diferentes, están contenidos en un solo universo, buscaron un principio unificador que subyace en la generación de los tres. Ese principio unificador no podía observarse de forma directa, pero sí podía conocerse su existencia a través de su expresión, en la forma de una paradoja, buscando entre las sombras visibles.
Casi 80 años antes de que Platón reprendiera a los delianos, Hipócrates de Cos ofreció una noción basada en el principio pitagórico de la conexión entre la música, la aritmética y la geometría. Los pitagóricos reconocieron las relaciones entre los intervalos musicales, a las que llamaron: la aritmética y la geométrica. La media aritmética es diferencia en común de tres números: b−a = c−b. Por ejemplo, 3 es la media aritmética entre 1 y 5 (ver figura 1a).
Fig. 1a - La media aritmética
b es la medida aritmética entre a y c
La media geométrica es cuando 3 números están en proporción constante: a:b::b:c. Por ejemplo, 2:4::4:8 (ver figura 1b)
Fig. 1b - La media geométrica
La longitud b es la media geométrica entre las longitudes a y c.
El área B es la media geométrica entre las áreas A y C
Hipócrates reconoció que la relación aritmética la expresan los intervalos formados al agregar las líneas, y que la geométrica la expresan los intervalos creados al agregar cuadrados o, más en general, áreas. La formación de figuras sólidas, puesto que son de un poder superior, no corresponde directamente a ninguna de estas relaciones musicales. Sin embargo, la sombra proyectada al doblar el cubo, expresaba una relación que correspondía a encontrar dos medias geométricas entre dos extremos (ver figura 1c).
Fig. 1c - Dos medias geométricas entre sólidos
Las dos medias geométricas entre un cubo de arista 1 y volumen 1
y un cubo de arista 2 y volumen 8. Proporcionalmente, habrá dos
medias geométricas entre un cubo de volumen 1 y un cubo de volumen 2
Platón explica en el Timeo la importancia de la noción de Hipócrates:
"Ciertamente, lo generado debe ser corpóreo, visible y tangible. . . Pero no es posible unir bien dos elementos aislados sin un tercero, ya que es necesario un vínculo en el medio que los una. . . Si el cuerpo del universo hubiera tenido que ser una superficie sin profundidad, habría bastado con una magnitud media que se uniera a sí misma con los extremos; pero en realidad, convenía que fuera sólido y los sólidos nunca son conectados por un término medio, sino siempre por dos.".
En el Epinomis, Platón habla de las investigaciones de las medias geométrica y aritmética: "Algo divino y maravilloso es aquello que se contempla y que refleja cómo la totalidad de la naturaleza está impresa con especies y géneros de acuerdo a cada proporción como un poder. . . Para el hombre que realiza sus estudios de la forma adecuada, todas las construcciones geométricas, todos los sistemas numéricos, todas las progresiones melódicas debidamente constituidas, el sistema ordenado de las revoluciones celestes, deberían revelarse a sí mismos, y lo harán, si, como digo, un hombre hace sus estudios con la mente fija en un solo propósito. Como tal hombre lo refleja, recibirá la revelación de un simple lazo de interconexión natural entre todos estos problemas. Si maneja tales materias con otro espíritu, un hombre, como digo, necesitará invocar a su suerte. Debemos dejar sentado que, sin estas capacidades, la felicidad no llegará a ninguna sociedad; este es el método, este es el pábulo, estos los estudios exigidos; difícil o fácil, este es el camino que tenemos que seguir".
Mientras que la reacción inicial al planteamiento de Hipócrates fue que convirtió un rompecabezas imposible en otro, otros lo vieron como un flanco. Si la construcción de dos medias entre dos extremos puede realizarse "entre las sombras", el resultado puede aplicarse al problema de doblar el cubo. Un colaborador de Platón, Arquitas de Tarento, brindó una solución con su famosa construcción, que involucra un cilindro, un toro y un cono (ver figura 4a). Esto demostró que la construcción requerida sólo puede hacerse, no en el dominio plano de las sombras, sino en el dominio superior de las superficies curvas. El resultado de Arquitas es consistente con el descubrimiento de los pitagóricos, de Teetetes y de Platón de la construcción de los cinco sólidos regulares a partir de la esfera.
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El descubrimiento de Menecmo
Un alumno de Platón, Menecmo, hizo un descubrimiento adicional al demostrar que las curvas generadas a partir de conos tienen el poder de producir dos medias entre dos extremos. Como lo ilustran los diagramas, la parábola tiene la característica de ser una media entre dos extremos, mientras que la hipérbola abarca dos (ver figuras 2a y 2b).
Fig. 2a Las proporciones de una parábola
Fig. 2b Las proporciones de una hipérbola
Fig. 2a - La parábola la forma el ángulo móvil ABC, tal que el vértice B se mueve sobre la línea OB en tanto C se mueve sobre la línea OC. Esto forma el rectángulo cambiante OBPC. El punto P describe una parábola. Mediante triángulos similares, OA: OB::OB:OC o OC=OB²
Fig. 2b - La hipérbola la forma la esquina B del rectángulo OABC. En tanto los lados del rectángulo cambian, el área permanece constante. Esto mantiene la proporción 1:OA::OA:OAxAB
Menecmo demostró que la intersección de una hipérbola y una parábola produce el resultado de situar dos medias entre dos extremos (ver figura 3).
Fig. 3 - Determinación de Menecmo de dos medias usando secciones cónicas
La intersección de una hipérbola y una parábola determina las magnitudes que doblan el cubo. La parábola la forman OA=1 y el ángulo recto ABD. La hipérbola la forman OC² del rectángulo OBCD, que tiene un área de 2. En la parábola, OA:OB::OB:OD, o 1:OB::OB:OC². En la hipérbola, OBxBC=2. De la combinación de las dos anteriores se desprende la proporción, 1:OB::OB:BC::BC:2. En otras palabras, la línea OB formará la arista de un cubo de volumen 2 y BC formará la rista de un cubo de volumen 4
En los descubrimientos de Arquitas y Menecmo había un principio que no florecería del todo sino hasta 2.200 años después, con los descubrimientos de Riemann y Gauss. La solución de Arquitas dependía de una característica de la curva formada por la intersección del cilindro y el toro. Esta curva no podría dibujarse en una superficie plana, porque se curva en dos direcciones (ver figuras 4a y 4b).
Fig. 4a Construcción de Arquitas para doblar un cubo
Fig. 4b Intersección de un cilindro y un toro
Fig. 4a - Arquitas desarrolló una construcción para encontrar dos medias geométricas entre dos magnitudes. La longitud mayor es AC, que es el diámetro de un círculo. Ese círculo rota alrededor de A para formar un toro. Entonces se produce un cilindro prependicular al toro, cuyo diámetro también es AC. La magnitud menor AB es una cuerda de una sección transversal del toro. AB se extiende hasta que interseca al cilindro, formando un triángulo que, al girar, produce un cono. Las tres suprficies intersecan en el punto P.
Fig. 4b - La curva que forma la intersección de un cilindro y un toro posee una característica que Gauss llamó curvatura "negativa".
Sin embargo, Menecmo hace su construcción —que usa una parábola y una hipérbola— enteramente en el dominio plano de las sombras. Aunque por razones que no serían claras sino hasta la época de Godofredo Leibniz en el siglo 17, la solución de Menecmo funcionó porque involucraba el mismo principio de curvatura negativa que la de Arquitas.
Como casi no hay escritos originales, es difícil saber qué tan conscientes estaban estos antiguos investigadores griegos del principio que Gauss llamaría curvatura negativa. Lo que sí sabemos, es que estos griegos sabían que el principio que determina la acción en el universo físico es superior al que domina el mundo plano de las áreas. Así, los principios que gobiernan a los objetos sólidos dependen de curvas, generadas por un tipo de acción superior en el espacio, el cual, cuando se proyecta en el dominio inferior de un plano, tiene la capacidad de situar dos medias entre dos extremos. Estas curvas combinan la aritmética y la geométrica en una sola. Cuando este principio se aplica al dominio superior de los objetos sólidos, produce un resultado experimentalmente validable.
Esto demuestra, como Platón señala, no sólo un principio que gobierna al reino físico, sino la relación múlticonexa entre las dimensiones espiritual y material del universo; de ahí lo apropiado de los ejercicios pedagógicos o espirituales.
El estudio de Kepler de las secciones cónicas
El siguiente avance significativo lo hizo Johannes Kepler, quien estableció la ciencia física moderna como una extensión de estos antiguos descubrimientos griegos, tal como Nicolás de Cusa, Luca Pacioli y Leonardo da Vinci los redescubrieron. Kepler, citando a Cusa, a quien llamó "divino", dio una particular importancia a la diferencia entre la curva (geométrica) y la recta (aritmética). Kepler escribió en su Mystérium Cosmográphicum:
"Pero, después de todo, ¿por qué las distinciones entre la curva y la recta, y la nobleza de una curva, en la intención de Dios cuando creó el Universo? ¿Precisamente por qué? Salvo que para el Creador más perfecto fuera absolutamente necesario crear la más bella obra".
Como parte de su investigación astronómica, Kepler dominó Las Cónicas de Apolonio, que es una compilación de los descubrimientos griegos sobre estas curvas superiores. Como resultado de su investigación sobre la refracción de la luz, Kepler aportó un concepto nuevo y revolucionario de las secciones cónicas. Por primera vez, Kepler consideró a las secciones cónicas como una multiplicidad proyectiva:
"Entre estas líneas existe el siguiente en razón de sus propiedades: pasa de la línea recta, a través de una infinidad de hipérbolas, a una parábola, y de ahí, a través de una infinidad de elipses, al círculo. Así, por un lado la parábola tiene dos cosas en naturaleza infinitas, la hipérbola y la línea recta, la elipse y el círculo. Aunque también es infinito, asume una limitación en el otro lado. . . Por tanto, los límites opuestos son el círculo y la línea recta: el primero es curvatura pura, la última recta pura. La hipérbola, la parábola y la elipse están en medio, y participan de la recta y de la curva, lo mismo la parábola, y la hipérbola participa más de la recta, y la elipse más de la curva" (ver figura 5).
Fig. 5 - Concepto proyectivo de Kepler de las secciones cónicas
En tanto el foco se mueve a la izquierda, el círculo se transforma en una elipse. En el límite con el infinito, la elipse se convierte en una parábola. La hipérbola se forma "del otro lado" del infinito.
La discontinuidad que revela esta proyección entre la parábola y la hipérbola es importante para esta discusión. La hipérbola está al otro lado del infinito, por así decirlo, de la elipse y el círculo, mientras que un lado de la parábola va hacia el infinito y el otro hacia el finito.
De Fermat a Gauss
La importancia de estos límites infinitos comienza a aclararse desde la perspectiva de la reformulación de Las Cónicas de Apolonio por parte de Pierre de Fermat, y el desarrollo subsiguiente del cálculo por Leibniz y Jean Bernoulli, con un aporte crucial de Christian Huyghens.
Huyghens reconoció que la curva y la recta se expresan en la hipérbola de forma diferente que en las otras secciones cónicas. Su descubrimiento se basó en el mismo principio que reconoció Menecmo, de que a la hipérbola, cuando se proyecta sobre un plano, la forma una serie de rectángulos cuyas áreas son siempre iguales. En la medida en que uno de los lados de cada rectángulo se hace más largo, el otro lado se vuelve inversamente más pequeño. Huyghens centró su atención en el área que encierran la hipérbola y la asíntota, que es la que forma un rectángulo en cambio contante, cuya área siempre es la misma (ver figura 6).
Fig. 6 - Áreas hiperbólicas iguales
Las áreas entre 1 y 2 , 2 y 4 , y 4 y 8 , son todas iguales
Las áreas entre la hipérbola y la asíntota, formadas por rectángulos cuyos lados están en proporción son iguales. Del mismo modo, como ilustra el diagrama, aquellas secciones de la hipérbola formadas en tanto la distancia entre la asíntota y el centro aumenta geométricamente, son iguales. Por tanto, mientras las áreas crecen aritméticamente, las longitudes sobre la asíntota lo hacen geométricamente. No pases por alto la ironía de esta inversión: ¡en la hipérbola, las áreas (geométricas) crecen de forma aritmética, mientras que las longitudes (aritméticas) lo hacen de forma geométrica!
Leibniz descubrió que a esta relación combinada de la aritmética y la geométrica la expresa el principio físico de la catenaria. Leibniz demostró que a la catenaria la forma una curva, que él llamó logarítmica, conocida hoy como "exponencial". Esta curva esta formada de tal modo que el cambio horizontal es aritmético, mientras que el cambio vertical es geométrico. Leibniz demostró que la catenaria es la media aritmética entre dos curvas logarítmicas tales (ver figura 7).
Fig.7 - Construcción de Leibniz de la catenaria
Fig. 7 - La catenaria la forma la media aritmética entre dos curvas, a la que Leibniz llamó "logarítmica" y que hoy se conoce como exponencial. En la figura, las líneas están igualmente distribuidas sobre un eje horizontal. La curva "logarítmica" la forman las longitudes verticales que están en proporción geométrica. La catenaria se forma sumando la longitud e a la e', y dividiendo la longitud combinada entre 2, etc.
De aquí, pasamos directamente al descubrimiento de Gauss y Riemann, a través de otros descubrimientos de Leibniz y Bernoulli relacionados con la catenaria: la relación de la catenaria con la hipérbola.[1] Esta relación se forma a partir del descubrimiento de Huyghens. Las áreas hiperbólicas iguales definen ciertos puntos sobre la hipérbola que se "proyectan" sobre su eje, mediante líneas perpendiculares que van desde el eje hasta esos puntos. Estas proyecciones producen longitudes sobre el eje, como demostró Leibniz, ¡del mismo largo que las que produce la catenaria! (ver figuras 8a, 8b y 8c).
Fig. 8a - Proyección de áreas hiperbólicas iguales
Los puntos sobre la hipérbola que corresponden a divisiones iguales del área se proyectan
sobre el eje al dibujar líneas perpendiculares desde el eje hasta esos puntos. Esto produce
las longitudes, Ob, Oc, Od. Oa = 1
Fig. 8b - Medición entre la hipérbola y la cateriana
Fig. 8c - Relación entre la hipérbola y la catenaria
Las implicaciones de este descubrimiento quedan más claras cuando las vemos desde la perspectiva de la investigación de Gauss sobre las superficies curvas, que surge de su trabajo previo sobre geodesia, astronomía, el teorema fundamental del álgebra y los residuos bicuadráticos. Para completar esta discusión, concentrate en la ampliación de Gauss de la investigación sobre las curvas, a la investigación de las superficies que las contienen. A las superficies que contienen curvas con las características de la hipérbola o la catenaria, Gauss las llamó curvas "negativas", mientras que las superficies formadas por curvas con las características de los círculos y las elipses, las llamó curvas "positivas" (ver figuras 9a y 9b).
Ahora, vuelve a pensar en esta fuga de 25 siglos. El principio que subyace en las construcciones de Arquitas y Menecmo; la discontinuidad que expresa el límite infinito entre la hipérbola y la parábola; la inversión de la geométrica y la aritmética en la hipérbola: desde la perspectiva de Gauss, todo esto refleja una transformación entre la curvatura positiva y la negativa.
Por tanto, para investigar la acción en el universo físico, es necesario ampliar la investigación, de la simple extensión a una curvatura, y de las simples curvas a las superficies que las contienen. Esto sólo puede hacerse desde la perspectiva del dominio complejo de Gauss y Riemann.
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[1] Cabe señalar que este descubrimiento ha sido víctima del difundido asalto de Euler y Lagrange, mismo que Felix Klein y demás perpetuaron en el siglo 20, y la mera discusión de esto con cualquiera expuesto a una educación matemática académica de seguro provocará graves ataques de ansiedad.
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Introducción al Método Tomatis
Por Pierre Sollier, MFT.
traducción por Samuel Chenillo
Hace cerca de 40 años, el Dr. Alfred A. Tomatis, un otorrinolaringólogo francés hizo una serie de descubrimientos, que llevaron al desarrollo del Método Tomatis. Este método lleva nombres diferentes: "entrenamiento auditivo", "estimulación auditiva" y "terapia de escucha". Su propósito es el reeducar la manera en la que escuchamos, mejorar el aprendizaje y las habilidades de lenguaje, comunicación, creatividad y comportamiento social.
El Método Tomatis ha ayudado a miles de niños con problemas de procesamiento auditivo, dislexia, dificultades de aprendizaje, déficit de atención (ADD), y con dificultades motoras y de integración sensorial. Ha ayudado a adultos a vencer la depresión, aprender lenguajes con mayor facilidad, desarrollar mejores habilidades de comunicación, mejorar el proceso creativo y el desempeño en el área de trabajo. Varios músicos, cantantes, y actores, han logrado afinar sus talentos utilizando el Método Tomatis. Finalmente, muchos clientes reportan mejoras psicológicas: mayor auto-estima, nivel de energía y motivación, claridad mental y sentimiento de bienestar.
Hoy en día, el Método Tomatis es utilizado en más de 250 Centros alrededor del mundo. Estos centros son dirigidos por especialistas de las áreas de psicología, medicina, educación, terapia de lenguaje, terapia ocupacional y música.
A través de los años, el Dr. Tomatis ha desarrollado una compleja teoría que se centra alrededor de las diferentes funciones del oído y su conexión con la voz. Esta introducción solamente puede presentar las ideas básicas de la teoría del método Tomatis, la cual esta basada en la neuro-fisiología del proceso auditivo. Esperamos que algún día sus escritos sean traducidos, porque explican en detalle los fundamentos del Método y porque funciona. A esto se añade el que los resultados clínicos obtenidos por el Método Tomatis día con día, son aun mayor prueba de que Método funciona.
EL OIDO
Cuando pensamos en nuestros oídos, normalmente nos enfocamos en el oír. Sin duda esta es la función mas obvia, pero hay mas en el oído, que la audición. Tomatis señala que varias de las funciones del oído, son tan importantes como la audición, y deben de ser tomadas en cuenta. Todas entran dentro del Método Tomatis. Una de estas importantes funciones, es la vestibular. El vestíbulo, que es parte del oído interno, controla el balance, coordinación, verticalidad, tono muscular de los músculos de nuestros ojos. Debido al vestíbulo, nosotros podemos desarrollar una imagen de nuestro cuerpo en el espacio. El vestíbulo es también una conexión importante para toda la información sensorial que nuestro cuerpo manda a nuestra mente. Los niños que tienen problemas vestibulares, tienen con frecuencia dificultades de integración sensorial.
Otra parte importante del oído interno es la cóclea. Su función es el analizar sonidos. El vestíbulo y la cóclea están enlazados y actúan como enlazadores de comunicación entre el sistema nervioso y el cerebro para toda la información sensorial. El tacto, la visión y la escucha son interpretados por nuestro sistema vestibular-cóclear. Pero de acuerdo con Tomatis, el papel del oído no para aquí.
LA FUNCION DE ENERGIA
Nuestros oídos juegan un papel principal en la estimulación del cerebro. Tomatis lo pone de esta manera: "El oído se puede comparar con una dinamo que transforma las estimulaciones que recibe a energía neurológica encausada a alimentar al cerebro."
Tomatis también nota que los sonidos de frecuencias agudas dan energía al cerebro mientras que las frecuencias graves drenan energía. Por esta razón Tomatis llama a las frecuencias agudas "sonidos energéticos". Los sonidos de frecuencias graves tienden a agotarnos, haciendo que nuestros cuerpos se muevan al activar los canales semicirculares del vestíbulo. Si esos sonidos graves continúan, nuestros cuerpos se continúan moviendo hasta el agotamiento. Este efecto puede ser visto fácilmente en gente que escucha música rock o rap. Por otro lado, una pieza de Mozart o Bach, generará un comportamiento muy distinto.
Tomatis nota que cuando nuestro cerebro esta bien "energétizado", nosotros podemos enfocar, concentrar, organizar, memorizar, aprender, y trabajar por largos periodos de tiempo, casi sin esfuerzo. Cuando el cerebro esta bien "energetizado", parece no haber falta de energía para innovar, imaginar y crear. La mayoría de los niños y adultos con un buen oído musical obtienen una gran cantidad de "Energía Auditiva", y rara vez experimentan niveles bajos de energía o depresión. Por otro lado, niño hiperactivos pueden estarse moviendo constantemente en busca de "dar energía" a su cerebro por medio de actividades vestibulares. Las personas cuyos cerebros no obtengan bastante energía, probablemente se verán en desventaja cuando son confrontados por los muchos retos que una sociedad dinámica como la nuestra presenta.
LA FUNCION DE ESCUCHA
Escuchar, no oír, es la función primaria del oído. Tomatis hace una distinción clara entre oír y escuchar. Oír es un proceso pasivo; escuchar es un proceso activo que requiere el deseo de poner el oído a buen uso. Nosotros podemos tener un oído excelente pero ser malos al escuchar. Muchos niños que tienen problemas de aprendizaje o déficit de atención, tienen un oído excelente, de acuerdo con el audiólogo de la escuela, pero aun así, no pueden leer bien, o concentrarse. Su problema es un problema de escucha. Como resultado, ellos no pueden concentrarse y tienen dificultades leyendo. (Si quiere saber si su niño tiene un problema de escucha, vea la prueba de Paul Madaule al final de este artículo.) Escuchar es tanto la habilidad de captar información, como la habilidad de filtrar la información irrelevante. Cuando las sensaciones son procesadas de forma fluida, los estímulos irrelevantes son bloqueados y podemos concentrarnos y enfocar sin sentirnos molestos o bombardeados por toda la información proveniente de nuestro entorno y nosotros mismos. Podemos organizar y jerarquizar esta información en vez de sentirnos abrumados. Cuando este proceso es distorsionado, problemas de escucha surgen, resultando en dificultades en comunicación académica y habilidades sociales.
"El entrenamiento de escucha, desarrollado por Tomatis, busca restaurar la habilidad del oído de escuchar en una forma eficiente, organizada y equilibrada. El objetivo es afinar la capacidad del cerebro para aprender, mas que el enseñar procesos específicos. Cuando la función de escucha es afinada o restaurada, el cerebro demuestra una habilidad de aprendizaje más efectiva, cuando se le presenta estimulación del medio ambiente." (Paul Madaule, L.P. and Valerie Dejean, O.T., "The Listening Function" (La Función de Escucha)
EL OIDO DIRECTRIZ
A sorpresa de muchos, todos tenemos un oído dominante: algunos tienen dominio del oído derecho y otros dominio del oído izquierdo. La ventaja de tener como oído dominante al oído derecho, es que el oído derecho procesa la información auditiva de forma más rápida que el izquierdo. Por lo tanto, las personas que tienen oído dominante derecho son capaces de captar mejor los parámetros de voz y habla: intensidad, frecuencia, timbre, ritmo y fluidez de las oraciones. El programa Tomatis permite a los clientes el aprender a usar su oído derecho de forma más efectiva. Conforme aprendan a hacerlo, lograrán mejor control sobre su voz y también se podrán comunicar mejor. Esto apoyará su sentido de auto-control y la confianza en si-mismos.
Varios investigadores independientes, evaluando el efecto del Método Tomatis con tartamudos (Badenhorst, 1975) concluyeron que "los sujetos con escucha dominante en el oído derecho, mostraron una capacidad superior de relatar de forma espontánea y adecuada cualquier estimulación emocional. Los sujetos de escucha dominante derecha también mostraron una orientación más extrovertida, tenían mejor respuesta y se encontraban en mejor control de sus respuestas emocionales; tendían menos a la ansiedad, tensión, frustración y agresión. Estos resultados van de acuerdo a las predicciones de la teoría de Tomatis sobre la lateralizad" (Citado de Van Jaarsveld y Duplessis, S Afr. J., Psychology, 1988 18(4)).
LA CONECCION OIDO-VOZ
Es difícil hablar sobre el oído sin hablar sobre la voz: están ligados en aspectos no comúnmente entendidas. Basándose en información experimental que había acumulado, Tomatis presentó en 1953 un reporte a la Academia Francesa de Ciencias, estableciendo la siguiente ley:
"La voz contiene únicamente los sonidos que el oído capta."
Como consecuencia, cuando la escucha es reestablecida, la voz cambia. Esto puede ser visto claramente en cantantes que tienen un problema de voz. En muchos casos, el problema de voz nace de un pequeño problema de escucha: el oído no es capaz de cerciorarse de la precisión del sonido que va a ser producido. Esto lleva al cantante a "forzar" la voz para sobrevenir esa dificultad. Una vez que el problema de escucha se ha solucionado, la voz vuelve a tener su potencial completo. Por estas razones varios cantantes famosos como Maria Callas han venido a Tomatis buscando ayuda.
Los niño con voces graves y apagadas, frecuentemente tienen problemas de aprendizaje y sufren de problemas de escucha. Una voz grave, por ejemplo, indica un análisis malo de los harmónicos agudos y una mala lateralización (dominio del oído izquierdo). Al mejorar su habilidad de escucha, y al establecer el dominio del oído derecho, su voz empezará a contener un rango rico de harmónicos y se tornará precisa, harmónicamente rítmica y rápida a responder.
CUANDO LA ESCUCHA EMPIEZA
Desde temprano en su carrera, Tomatis postulo que el feto oye y escucha la voz de la madre. Desde entonces, la investigación científica ha validado esa idea al punto de ser un conocimiento común. Después de todo, el oído es el primer órgano en ser totalmente funcional cuando el feto tiene tan solo cuatro y medio meses de edad. Henry Truby (1) reporta que un feto de seis meses mueve su cuerpo al ritmo del habla de la madre. Basado en una revisión exhaustiva de literatura científica, Tomatis (2) concluye que la voz de la madre no solo es un nutriente emocional para el niño, pero también prepara al niño para adquirir el lenguaje después de nacer. Es decir que la escucha se inicia en el útero.
Por esta razón, Tomatis propone el usar la voz de la madre para reabrir este proceso auditivo. La voz es filtrada para ser similar a los sonidos escuchados dentro del útero. A partir de las reacciones de tanto niños como adultos, es claro que el uso de la voz de la madre tiene un gran impacto: los niños con frecuencia se relajan como si la voz los calmara; ellos muestran mas afecto, particularmente hacia la madre. Los niños adoptados se vinculan mejor con su madre adoptiva. La voz de la madre proporciona la base sólida que permite que el proceso de escucha se desenvuelva, junto con las etapas de desarrollo que llevan al desarrollo del lenguaje. El proceso completo no es mas que el tratar de "reprogramar" los diferentes estado del desarrollo humano por medio de una experiencia simbólica.
Debido a que Tomatis utiliza la voz de la madre como parte del proceso terapéutico, algunas personas han concluido erróneamente que Tomatis pone a la madre como responsable de los problemas del niño. Esta de ninguna manera es la postura de Tomatis. El uso de la voz de la madre es para Tomatis, una herramienta terapéutica para crear o restaurar el vinculo entre madre e hijo que no se desarrollo totalmente. Cientos de estudios de investigación sobre la vinculación muestran que este vínculo (madre-hijo) es primordial. Es la base en la que se construyen el sentimiento de seguridad personal y el deseo de comunicar. Al usar la voz de la madre, Tomatis trata de despertar en el niño el deseo de reconectar y escuchar a sus cuidadores primarios y a su entorno. Este acercamiento "psicológico" tiene que ir mano en mano con una integración de los sistemas sensoriales. El Método Tomatis combina ambos, para establecer un fundamento sólido para un mejor desarrollo.
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EL PROGRAMA DE ESCUCHA
El entrenamiento de escucha es logrado a través del uso de estimulación sonora, por medio de un aparato electrónico especialmente diseñado para ejercitar la función de escucha. Para cambiar la función de escucha, se requiere inicialmente de una intensa intervención. El programa inicia con estimulación de sonidos, por alrededor de dos horas diarias, por un periodo de 15 días. Las fases subsecuentes son usualmente mas cortos y son tomados después de pausas de uno a dos meses. Trabajo activo con micrófonos es utilizado para que el niño o el adulto utilice su propia voz para asistir en el proceso de reeducación y auto-escucha. (Para mayores informes favor de llamar a cualquiera de los Centros Tomatis.)
¿REALMENTE FUNCIONA?
El método Tomatis ha sido probado rigurosamente y se ha encontrado que es muy efectivo en el tratamiento de dificultades de aprendizaje y problemas de comportamiento. En sus reportes críticos de estudios llevados acabo en Canadá, Stutt (3) concluye que el método Tomatis produce beneficios mas allá de lo que pueden ser esperados por maduración o educación especial por sí solos. Los beneficios mencionados por Stutt se refieren a un incremento significante en C.I., habilidades de lectura, procesamiento perceptual, habilidades académicas, bienestar y adaptación general, habilidades comunicativas y la habilidad de expresar pensamientos y sentimientos en forma verbal (4,5,6,7). Recientemente Tim Gilmor ha completado un meta-análisis de estudios previos, confirmando las conclusiones de Stutt. Los resultados de este estudio serán publicados aquí, tan pronto y su trabajo sea publicado.
El Centro Tomatis en Toronto (Canadá) estudió los resultados de la Terapia de Escucha en más de 400 niños y adolescentes. Todos tenían una historia bien documentada de problemas de aprendizaje, así como un patrón de bajo rendimiento en pruebas psicopedagógicas. Los resultados del tratamiento fueron evaluados en una escala de 5 puntos por los padres de los niños. En esta prueba, el 95% de los padres respondió que el programa había ayudado a sus hijos. Ellos vieron mejorías en particular en:
%
Comunicación 89
Período de Atención 86
Nivel de Frustración 80
Comprensión de Lectura 85
Calidad de habla 74
Memoria 73
Ortografía 69
Madurez 84
En un seguimiento seis meses después del programa, un 83% de los niños habían mantenido las mejorías y/o habían continuado haciendo nuevas mejorías. Un 14% adicional de los niños había mantenido algunas de las mejorías. Solo el 3% no había mantenido las mejorías.
Durante varios años, el Método Tomatis ha sido utilizado en varias escuelas francesas, con fondos otorgados por el Ministerio de Educación. Los niños son seleccionados sobre la base del grado de sus dificultades. Mientras que el llevar a cabo un programa Tomatis en el entorno escolar esta lejos de lo ideal, los resultados fueron suficientemente buenos como para continuar el programa año tras año, por la motivación de los padres y los maestros.
En 1983, De Bruto (8) condujo un estudio cuidadosamente controlado para investigar la eficacia del Método Tomatis en personas con retraso severo en el desarrollo. Treinta internos del Instituto de Rehabilitación Witrand (Sudáfrica), de edades 4 a 14 y previamente diagnosticados común retraso severo en el desarrollo, pero con habilidad de caminar y hablar, fueron asignados al azar a tres grupos que recibieron:
Grupo Tratamiento
A Estimulación Auditiva (Tomatis) y un programa de estimulación sensorial motora.
B Estimulación Auditiva (sin el efecto Tomatis) y el mismo programa de estimulación sensorial motora.
C Ningún tratamiento
Las pruebas psicológicas incluían las Escalas Bailey de Desarrollo Infantil y una medición de su receptividad y respuesta. Los resultados indicaron que ambos grupos experimentales manifestaron un incremento en edad mental, pero el incremento en el grupo de estimulación Tomatis (grupo A) fue significantemente mayor que en el grupo B. Ningún cambio se encontró en el grupo C.
Mientras que ningún cambio significante se encontró en cuanto a receptividad y respuesta en los grupos A y B antes del programa de estimulación, una reducción estadísticamente significante de respuestas auto-dirigidas, junto con un incremento significante en respuestas dirigidas a objetos ocurrió después del programa Tomatis de Estimulación, en el grupo A.
Mientras que hay bastante evidencia clínica de que los niños autistas se benefician a través del Método Tomatis, ningún estudio científicamente controlado se ha publicado. Esto puede cambiar pronto: Dr. Joann Roy del Departamento de Psicología en Regina ha completado un estudio (double blind) con niños autistas. Reportaremos los resultados aquí tan pronto como sean publicados.
También se ha llevado acabo estudios sobre tartamudeo (9), lateralizad (10,11), ansiedad y depresión (12) mostrando el efecto positivo que se obtiene por el Método Tomatis.
INVENTARIO DE HABILIDADES PARA ESCUCHAR
(Del libro "Escuchar: Despertar a la Vida", por Paul Madaule, Editorial Patria, S.A. de C.V., 1994)
Nosotros no podemos "ver" la escucha; la única forma de llegar a ella, es indirectamente- a través de habilidades que están relacionadas a ella en alguna u otra forma. Esta lista ofrece un catalogo de estas habilidades, y le permitirá asesorarse sobre su escucha o la de sus hijos o estudiantes. No hay una "calificación" o puntaje; simplemente marque las opciones que considere ser pertinentes.
Historia clínica de desarrollo
Esta información es extremadamente importante para la identificación temprana y prevención de problemas de escucha. También nos da indicios de las causas probables.
__ un embarazo con mucha tensión
__ un parto difícil
__ adopción
__ separación temprana de la madre
__ retraso en desarrollo motor
__ retraso en desarrollo del lenguaje
__ infecciones recurrentes en el oído (otitis media)
Escucha Receptiva
Esta es la escucha que esta dirigida hacia afuera. Nos mantiene en contacto con el mundo que nos rodea, a lo que sucede en casa, el trabajo o el salón de clases, en lo que esta diciendo otra persona.
__ lapso de atención corto
__ fácilmente distraído
__ hipersensibilidad a sonidos
__ mala interpretación de preguntas
__ confusión de palabras de que suenan parecidas
__ necesidad de repetición constante
__ dificultad en seguir instrucciones secuenciales
Escucha Expresiva
Esta es la escucha que esta dirigida hacia adentro. La utilizamos para controlar nuestra voz cuando hablamos y cantamos.
__ voz grave o monótona, calidad de la voz
__ voz titubeante, carece de ritmo y fluidez
__ vocabulario débil
__ mal estructuración de enunciados
__ uso exagerado de expresiones estereotipadas
__ canto desafinado
__ invertir o confundir letras
__ baja comprensión de lectura
__ dificultad al leer, especialmente en voz alta
__ mala ortografía
Habilidades Motoras
Las habilidades motrices están muy relacionadas con el oído del cuerpo (el vestíbulo), que controla el balance, la coordinación y la conciencia corporal, también requiere atención.
__ mala postura (agachado o encorvado)
__ comportamiento inquieto
__ movimientos torpes y descoordinados
__ falta de sentido del ritmo
__ escritura desordenada
__ dificultad con organización y estructura
__ confusión entre derecha y izquierda
__ lateralizad confusa
__ habilidades deportivas bajas
El nivel de energía
El oído actúa como una dínamo, proporcionándonos la energía que necesitamos para sobrevivir y llevar vidas de auto-realización
__ dificultad en levantarse
__ cansancio al final del día
__ costumbre de evitar el trabajo
__ hiperactividad
__ tendencia a la depresión
__ abrumado por el trabajo cotidiano
Adaptación social y de conducta
Una dificultad de escucha con frecuencia esta relacionada a lo siguiente:
__ baja tolerancia a la frustración
__ falta de confianza en sí-mismo
__ timidez
__ dificultad para hacer amigos
__ tendencia a aislarse y retraimiento social
__ irritabilidad
__ inmadurez
__ baja motivación
__ falta de interés en el trabajo/ escuela.
__ actitudes negativas hacia el trabajo / escuela
REFERENCIAS:
1 Henry Truby, Pre-speech and Infantile Speech Lexicon, 1971
2 A. A. Tomatis, La Nuit Uterine, 1981, not translated
3 Stutt, H.A. (1983), The Tomatis method: A review of current research. Montreal: Mc Gill University
4 Gilmore, T.M. (1982), Results of a survey of children's performance on a variety of psychological tests before and after completing the Tomatis program. Rexdale, Ontario: MDS Health Group Ltd.
5 Rourke, B.P. & Russel, D.L. (1982), The Tomatis method applied to older children: An evaluation Draft 1. Rexdale, Ontario: MDS Health Group Ltd.
6 Roy, R.T. (1980), Perceptual processing abilities and academic skills: intensive case studies of Audio-Psycho-Phonological remedial training with five dyslexic boys. Unpublished doctoral dissertation, University of Ottawa, Ottawa.
7 Wilson, Iavociello, Metlay, Risucci, Rosati & Palmaccio (1982) The Tomatis Project / Final Report, Department of neurology North Shore University Hospital and Hofstra University, Department of psychology. Unpublished.
8 De Bruto, C.M.E. (1983), Audio-psycho-phonology and the mentally retarded child: An emperical investigatio Paper presented at the First Congress on Audio-Psycho-phonology. Potchefstroom
9 Van Jaarsveld, 1973, 1974, quoted by Pieter E. van Jaarsveld and Wynand F. du Plessis, in S. Afr. Tydskr. Sielk. 1988, 18 (4)
10 Van Wyck (1974), idem
11 Badenhorst (1975) n'Rorschachstudie van regssydiges en linksluiteraars met gemengde laterale voorkeure. Ongepubliseerde M-graad-skripsie, Pochefstroom, Universiteit vir CHO: Pochefstroom
12 Du Plessis, (1982). Beangste en nie-beangste eerstejaardamestudente:' Klinies-psigologiese verkenning . Ongepubliseerde doktorale proefskrif, Pochefstroom Universiteit vir CHO: Pochefstroom.
© 1996 The Mozart Center
traducción por Samuel Chenillo
Hace cerca de 40 años, el Dr. Alfred A. Tomatis, un otorrinolaringólogo francés hizo una serie de descubrimientos, que llevaron al desarrollo del Método Tomatis. Este método lleva nombres diferentes: "entrenamiento auditivo", "estimulación auditiva" y "terapia de escucha". Su propósito es el reeducar la manera en la que escuchamos, mejorar el aprendizaje y las habilidades de lenguaje, comunicación, creatividad y comportamiento social.
El Método Tomatis ha ayudado a miles de niños con problemas de procesamiento auditivo, dislexia, dificultades de aprendizaje, déficit de atención (ADD), y con dificultades motoras y de integración sensorial. Ha ayudado a adultos a vencer la depresión, aprender lenguajes con mayor facilidad, desarrollar mejores habilidades de comunicación, mejorar el proceso creativo y el desempeño en el área de trabajo. Varios músicos, cantantes, y actores, han logrado afinar sus talentos utilizando el Método Tomatis. Finalmente, muchos clientes reportan mejoras psicológicas: mayor auto-estima, nivel de energía y motivación, claridad mental y sentimiento de bienestar.
Hoy en día, el Método Tomatis es utilizado en más de 250 Centros alrededor del mundo. Estos centros son dirigidos por especialistas de las áreas de psicología, medicina, educación, terapia de lenguaje, terapia ocupacional y música.
A través de los años, el Dr. Tomatis ha desarrollado una compleja teoría que se centra alrededor de las diferentes funciones del oído y su conexión con la voz. Esta introducción solamente puede presentar las ideas básicas de la teoría del método Tomatis, la cual esta basada en la neuro-fisiología del proceso auditivo. Esperamos que algún día sus escritos sean traducidos, porque explican en detalle los fundamentos del Método y porque funciona. A esto se añade el que los resultados clínicos obtenidos por el Método Tomatis día con día, son aun mayor prueba de que Método funciona.
EL OIDO
Cuando pensamos en nuestros oídos, normalmente nos enfocamos en el oír. Sin duda esta es la función mas obvia, pero hay mas en el oído, que la audición. Tomatis señala que varias de las funciones del oído, son tan importantes como la audición, y deben de ser tomadas en cuenta. Todas entran dentro del Método Tomatis. Una de estas importantes funciones, es la vestibular. El vestíbulo, que es parte del oído interno, controla el balance, coordinación, verticalidad, tono muscular de los músculos de nuestros ojos. Debido al vestíbulo, nosotros podemos desarrollar una imagen de nuestro cuerpo en el espacio. El vestíbulo es también una conexión importante para toda la información sensorial que nuestro cuerpo manda a nuestra mente. Los niños que tienen problemas vestibulares, tienen con frecuencia dificultades de integración sensorial.
Otra parte importante del oído interno es la cóclea. Su función es el analizar sonidos. El vestíbulo y la cóclea están enlazados y actúan como enlazadores de comunicación entre el sistema nervioso y el cerebro para toda la información sensorial. El tacto, la visión y la escucha son interpretados por nuestro sistema vestibular-cóclear. Pero de acuerdo con Tomatis, el papel del oído no para aquí.
LA FUNCION DE ENERGIA
Nuestros oídos juegan un papel principal en la estimulación del cerebro. Tomatis lo pone de esta manera: "El oído se puede comparar con una dinamo que transforma las estimulaciones que recibe a energía neurológica encausada a alimentar al cerebro."
Tomatis también nota que los sonidos de frecuencias agudas dan energía al cerebro mientras que las frecuencias graves drenan energía. Por esta razón Tomatis llama a las frecuencias agudas "sonidos energéticos". Los sonidos de frecuencias graves tienden a agotarnos, haciendo que nuestros cuerpos se muevan al activar los canales semicirculares del vestíbulo. Si esos sonidos graves continúan, nuestros cuerpos se continúan moviendo hasta el agotamiento. Este efecto puede ser visto fácilmente en gente que escucha música rock o rap. Por otro lado, una pieza de Mozart o Bach, generará un comportamiento muy distinto.
Tomatis nota que cuando nuestro cerebro esta bien "energétizado", nosotros podemos enfocar, concentrar, organizar, memorizar, aprender, y trabajar por largos periodos de tiempo, casi sin esfuerzo. Cuando el cerebro esta bien "energetizado", parece no haber falta de energía para innovar, imaginar y crear. La mayoría de los niños y adultos con un buen oído musical obtienen una gran cantidad de "Energía Auditiva", y rara vez experimentan niveles bajos de energía o depresión. Por otro lado, niño hiperactivos pueden estarse moviendo constantemente en busca de "dar energía" a su cerebro por medio de actividades vestibulares. Las personas cuyos cerebros no obtengan bastante energía, probablemente se verán en desventaja cuando son confrontados por los muchos retos que una sociedad dinámica como la nuestra presenta.
LA FUNCION DE ESCUCHA
Escuchar, no oír, es la función primaria del oído. Tomatis hace una distinción clara entre oír y escuchar. Oír es un proceso pasivo; escuchar es un proceso activo que requiere el deseo de poner el oído a buen uso. Nosotros podemos tener un oído excelente pero ser malos al escuchar. Muchos niños que tienen problemas de aprendizaje o déficit de atención, tienen un oído excelente, de acuerdo con el audiólogo de la escuela, pero aun así, no pueden leer bien, o concentrarse. Su problema es un problema de escucha. Como resultado, ellos no pueden concentrarse y tienen dificultades leyendo. (Si quiere saber si su niño tiene un problema de escucha, vea la prueba de Paul Madaule al final de este artículo.) Escuchar es tanto la habilidad de captar información, como la habilidad de filtrar la información irrelevante. Cuando las sensaciones son procesadas de forma fluida, los estímulos irrelevantes son bloqueados y podemos concentrarnos y enfocar sin sentirnos molestos o bombardeados por toda la información proveniente de nuestro entorno y nosotros mismos. Podemos organizar y jerarquizar esta información en vez de sentirnos abrumados. Cuando este proceso es distorsionado, problemas de escucha surgen, resultando en dificultades en comunicación académica y habilidades sociales.
"El entrenamiento de escucha, desarrollado por Tomatis, busca restaurar la habilidad del oído de escuchar en una forma eficiente, organizada y equilibrada. El objetivo es afinar la capacidad del cerebro para aprender, mas que el enseñar procesos específicos. Cuando la función de escucha es afinada o restaurada, el cerebro demuestra una habilidad de aprendizaje más efectiva, cuando se le presenta estimulación del medio ambiente." (Paul Madaule, L.P. and Valerie Dejean, O.T., "The Listening Function" (La Función de Escucha)
EL OIDO DIRECTRIZ
A sorpresa de muchos, todos tenemos un oído dominante: algunos tienen dominio del oído derecho y otros dominio del oído izquierdo. La ventaja de tener como oído dominante al oído derecho, es que el oído derecho procesa la información auditiva de forma más rápida que el izquierdo. Por lo tanto, las personas que tienen oído dominante derecho son capaces de captar mejor los parámetros de voz y habla: intensidad, frecuencia, timbre, ritmo y fluidez de las oraciones. El programa Tomatis permite a los clientes el aprender a usar su oído derecho de forma más efectiva. Conforme aprendan a hacerlo, lograrán mejor control sobre su voz y también se podrán comunicar mejor. Esto apoyará su sentido de auto-control y la confianza en si-mismos.
Varios investigadores independientes, evaluando el efecto del Método Tomatis con tartamudos (Badenhorst, 1975) concluyeron que "los sujetos con escucha dominante en el oído derecho, mostraron una capacidad superior de relatar de forma espontánea y adecuada cualquier estimulación emocional. Los sujetos de escucha dominante derecha también mostraron una orientación más extrovertida, tenían mejor respuesta y se encontraban en mejor control de sus respuestas emocionales; tendían menos a la ansiedad, tensión, frustración y agresión. Estos resultados van de acuerdo a las predicciones de la teoría de Tomatis sobre la lateralizad" (Citado de Van Jaarsveld y Duplessis, S Afr. J., Psychology, 1988 18(4)).
LA CONECCION OIDO-VOZ
Es difícil hablar sobre el oído sin hablar sobre la voz: están ligados en aspectos no comúnmente entendidas. Basándose en información experimental que había acumulado, Tomatis presentó en 1953 un reporte a la Academia Francesa de Ciencias, estableciendo la siguiente ley:
"La voz contiene únicamente los sonidos que el oído capta."
Como consecuencia, cuando la escucha es reestablecida, la voz cambia. Esto puede ser visto claramente en cantantes que tienen un problema de voz. En muchos casos, el problema de voz nace de un pequeño problema de escucha: el oído no es capaz de cerciorarse de la precisión del sonido que va a ser producido. Esto lleva al cantante a "forzar" la voz para sobrevenir esa dificultad. Una vez que el problema de escucha se ha solucionado, la voz vuelve a tener su potencial completo. Por estas razones varios cantantes famosos como Maria Callas han venido a Tomatis buscando ayuda.
Los niño con voces graves y apagadas, frecuentemente tienen problemas de aprendizaje y sufren de problemas de escucha. Una voz grave, por ejemplo, indica un análisis malo de los harmónicos agudos y una mala lateralización (dominio del oído izquierdo). Al mejorar su habilidad de escucha, y al establecer el dominio del oído derecho, su voz empezará a contener un rango rico de harmónicos y se tornará precisa, harmónicamente rítmica y rápida a responder.
CUANDO LA ESCUCHA EMPIEZA
Desde temprano en su carrera, Tomatis postulo que el feto oye y escucha la voz de la madre. Desde entonces, la investigación científica ha validado esa idea al punto de ser un conocimiento común. Después de todo, el oído es el primer órgano en ser totalmente funcional cuando el feto tiene tan solo cuatro y medio meses de edad. Henry Truby (1) reporta que un feto de seis meses mueve su cuerpo al ritmo del habla de la madre. Basado en una revisión exhaustiva de literatura científica, Tomatis (2) concluye que la voz de la madre no solo es un nutriente emocional para el niño, pero también prepara al niño para adquirir el lenguaje después de nacer. Es decir que la escucha se inicia en el útero.
Por esta razón, Tomatis propone el usar la voz de la madre para reabrir este proceso auditivo. La voz es filtrada para ser similar a los sonidos escuchados dentro del útero. A partir de las reacciones de tanto niños como adultos, es claro que el uso de la voz de la madre tiene un gran impacto: los niños con frecuencia se relajan como si la voz los calmara; ellos muestran mas afecto, particularmente hacia la madre. Los niños adoptados se vinculan mejor con su madre adoptiva. La voz de la madre proporciona la base sólida que permite que el proceso de escucha se desenvuelva, junto con las etapas de desarrollo que llevan al desarrollo del lenguaje. El proceso completo no es mas que el tratar de "reprogramar" los diferentes estado del desarrollo humano por medio de una experiencia simbólica.
Debido a que Tomatis utiliza la voz de la madre como parte del proceso terapéutico, algunas personas han concluido erróneamente que Tomatis pone a la madre como responsable de los problemas del niño. Esta de ninguna manera es la postura de Tomatis. El uso de la voz de la madre es para Tomatis, una herramienta terapéutica para crear o restaurar el vinculo entre madre e hijo que no se desarrollo totalmente. Cientos de estudios de investigación sobre la vinculación muestran que este vínculo (madre-hijo) es primordial. Es la base en la que se construyen el sentimiento de seguridad personal y el deseo de comunicar. Al usar la voz de la madre, Tomatis trata de despertar en el niño el deseo de reconectar y escuchar a sus cuidadores primarios y a su entorno. Este acercamiento "psicológico" tiene que ir mano en mano con una integración de los sistemas sensoriales. El Método Tomatis combina ambos, para establecer un fundamento sólido para un mejor desarrollo.
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EL PROGRAMA DE ESCUCHA
El entrenamiento de escucha es logrado a través del uso de estimulación sonora, por medio de un aparato electrónico especialmente diseñado para ejercitar la función de escucha. Para cambiar la función de escucha, se requiere inicialmente de una intensa intervención. El programa inicia con estimulación de sonidos, por alrededor de dos horas diarias, por un periodo de 15 días. Las fases subsecuentes son usualmente mas cortos y son tomados después de pausas de uno a dos meses. Trabajo activo con micrófonos es utilizado para que el niño o el adulto utilice su propia voz para asistir en el proceso de reeducación y auto-escucha. (Para mayores informes favor de llamar a cualquiera de los Centros Tomatis.)
¿REALMENTE FUNCIONA?
El método Tomatis ha sido probado rigurosamente y se ha encontrado que es muy efectivo en el tratamiento de dificultades de aprendizaje y problemas de comportamiento. En sus reportes críticos de estudios llevados acabo en Canadá, Stutt (3) concluye que el método Tomatis produce beneficios mas allá de lo que pueden ser esperados por maduración o educación especial por sí solos. Los beneficios mencionados por Stutt se refieren a un incremento significante en C.I., habilidades de lectura, procesamiento perceptual, habilidades académicas, bienestar y adaptación general, habilidades comunicativas y la habilidad de expresar pensamientos y sentimientos en forma verbal (4,5,6,7). Recientemente Tim Gilmor ha completado un meta-análisis de estudios previos, confirmando las conclusiones de Stutt. Los resultados de este estudio serán publicados aquí, tan pronto y su trabajo sea publicado.
El Centro Tomatis en Toronto (Canadá) estudió los resultados de la Terapia de Escucha en más de 400 niños y adolescentes. Todos tenían una historia bien documentada de problemas de aprendizaje, así como un patrón de bajo rendimiento en pruebas psicopedagógicas. Los resultados del tratamiento fueron evaluados en una escala de 5 puntos por los padres de los niños. En esta prueba, el 95% de los padres respondió que el programa había ayudado a sus hijos. Ellos vieron mejorías en particular en:
%
Comunicación 89
Período de Atención 86
Nivel de Frustración 80
Comprensión de Lectura 85
Calidad de habla 74
Memoria 73
Ortografía 69
Madurez 84
En un seguimiento seis meses después del programa, un 83% de los niños habían mantenido las mejorías y/o habían continuado haciendo nuevas mejorías. Un 14% adicional de los niños había mantenido algunas de las mejorías. Solo el 3% no había mantenido las mejorías.
Durante varios años, el Método Tomatis ha sido utilizado en varias escuelas francesas, con fondos otorgados por el Ministerio de Educación. Los niños son seleccionados sobre la base del grado de sus dificultades. Mientras que el llevar a cabo un programa Tomatis en el entorno escolar esta lejos de lo ideal, los resultados fueron suficientemente buenos como para continuar el programa año tras año, por la motivación de los padres y los maestros.
En 1983, De Bruto (8) condujo un estudio cuidadosamente controlado para investigar la eficacia del Método Tomatis en personas con retraso severo en el desarrollo. Treinta internos del Instituto de Rehabilitación Witrand (Sudáfrica), de edades 4 a 14 y previamente diagnosticados común retraso severo en el desarrollo, pero con habilidad de caminar y hablar, fueron asignados al azar a tres grupos que recibieron:
Grupo Tratamiento
A Estimulación Auditiva (Tomatis) y un programa de estimulación sensorial motora.
B Estimulación Auditiva (sin el efecto Tomatis) y el mismo programa de estimulación sensorial motora.
C Ningún tratamiento
Las pruebas psicológicas incluían las Escalas Bailey de Desarrollo Infantil y una medición de su receptividad y respuesta. Los resultados indicaron que ambos grupos experimentales manifestaron un incremento en edad mental, pero el incremento en el grupo de estimulación Tomatis (grupo A) fue significantemente mayor que en el grupo B. Ningún cambio se encontró en el grupo C.
Mientras que ningún cambio significante se encontró en cuanto a receptividad y respuesta en los grupos A y B antes del programa de estimulación, una reducción estadísticamente significante de respuestas auto-dirigidas, junto con un incremento significante en respuestas dirigidas a objetos ocurrió después del programa Tomatis de Estimulación, en el grupo A.
Mientras que hay bastante evidencia clínica de que los niños autistas se benefician a través del Método Tomatis, ningún estudio científicamente controlado se ha publicado. Esto puede cambiar pronto: Dr. Joann Roy del Departamento de Psicología en Regina ha completado un estudio (double blind) con niños autistas. Reportaremos los resultados aquí tan pronto como sean publicados.
También se ha llevado acabo estudios sobre tartamudeo (9), lateralizad (10,11), ansiedad y depresión (12) mostrando el efecto positivo que se obtiene por el Método Tomatis.
INVENTARIO DE HABILIDADES PARA ESCUCHAR
(Del libro "Escuchar: Despertar a la Vida", por Paul Madaule, Editorial Patria, S.A. de C.V., 1994)
Nosotros no podemos "ver" la escucha; la única forma de llegar a ella, es indirectamente- a través de habilidades que están relacionadas a ella en alguna u otra forma. Esta lista ofrece un catalogo de estas habilidades, y le permitirá asesorarse sobre su escucha o la de sus hijos o estudiantes. No hay una "calificación" o puntaje; simplemente marque las opciones que considere ser pertinentes.
Historia clínica de desarrollo
Esta información es extremadamente importante para la identificación temprana y prevención de problemas de escucha. También nos da indicios de las causas probables.
__ un embarazo con mucha tensión
__ un parto difícil
__ adopción
__ separación temprana de la madre
__ retraso en desarrollo motor
__ retraso en desarrollo del lenguaje
__ infecciones recurrentes en el oído (otitis media)
Escucha Receptiva
Esta es la escucha que esta dirigida hacia afuera. Nos mantiene en contacto con el mundo que nos rodea, a lo que sucede en casa, el trabajo o el salón de clases, en lo que esta diciendo otra persona.
__ lapso de atención corto
__ fácilmente distraído
__ hipersensibilidad a sonidos
__ mala interpretación de preguntas
__ confusión de palabras de que suenan parecidas
__ necesidad de repetición constante
__ dificultad en seguir instrucciones secuenciales
Escucha Expresiva
Esta es la escucha que esta dirigida hacia adentro. La utilizamos para controlar nuestra voz cuando hablamos y cantamos.
__ voz grave o monótona, calidad de la voz
__ voz titubeante, carece de ritmo y fluidez
__ vocabulario débil
__ mal estructuración de enunciados
__ uso exagerado de expresiones estereotipadas
__ canto desafinado
__ invertir o confundir letras
__ baja comprensión de lectura
__ dificultad al leer, especialmente en voz alta
__ mala ortografía
Habilidades Motoras
Las habilidades motrices están muy relacionadas con el oído del cuerpo (el vestíbulo), que controla el balance, la coordinación y la conciencia corporal, también requiere atención.
__ mala postura (agachado o encorvado)
__ comportamiento inquieto
__ movimientos torpes y descoordinados
__ falta de sentido del ritmo
__ escritura desordenada
__ dificultad con organización y estructura
__ confusión entre derecha y izquierda
__ lateralizad confusa
__ habilidades deportivas bajas
El nivel de energía
El oído actúa como una dínamo, proporcionándonos la energía que necesitamos para sobrevivir y llevar vidas de auto-realización
__ dificultad en levantarse
__ cansancio al final del día
__ costumbre de evitar el trabajo
__ hiperactividad
__ tendencia a la depresión
__ abrumado por el trabajo cotidiano
Adaptación social y de conducta
Una dificultad de escucha con frecuencia esta relacionada a lo siguiente:
__ baja tolerancia a la frustración
__ falta de confianza en sí-mismo
__ timidez
__ dificultad para hacer amigos
__ tendencia a aislarse y retraimiento social
__ irritabilidad
__ inmadurez
__ baja motivación
__ falta de interés en el trabajo/ escuela.
__ actitudes negativas hacia el trabajo / escuela
REFERENCIAS:
1 Henry Truby, Pre-speech and Infantile Speech Lexicon, 1971
2 A. A. Tomatis, La Nuit Uterine, 1981, not translated
3 Stutt, H.A. (1983), The Tomatis method: A review of current research. Montreal: Mc Gill University
4 Gilmore, T.M. (1982), Results of a survey of children's performance on a variety of psychological tests before and after completing the Tomatis program. Rexdale, Ontario: MDS Health Group Ltd.
5 Rourke, B.P. & Russel, D.L. (1982), The Tomatis method applied to older children: An evaluation Draft 1. Rexdale, Ontario: MDS Health Group Ltd.
6 Roy, R.T. (1980), Perceptual processing abilities and academic skills: intensive case studies of Audio-Psycho-Phonological remedial training with five dyslexic boys. Unpublished doctoral dissertation, University of Ottawa, Ottawa.
7 Wilson, Iavociello, Metlay, Risucci, Rosati & Palmaccio (1982) The Tomatis Project / Final Report, Department of neurology North Shore University Hospital and Hofstra University, Department of psychology. Unpublished.
8 De Bruto, C.M.E. (1983), Audio-psycho-phonology and the mentally retarded child: An emperical investigatio Paper presented at the First Congress on Audio-Psycho-phonology. Potchefstroom
9 Van Jaarsveld, 1973, 1974, quoted by Pieter E. van Jaarsveld and Wynand F. du Plessis, in S. Afr. Tydskr. Sielk. 1988, 18 (4)
10 Van Wyck (1974), idem
11 Badenhorst (1975) n'Rorschachstudie van regssydiges en linksluiteraars met gemengde laterale voorkeure. Ongepubliseerde M-graad-skripsie, Pochefstroom, Universiteit vir CHO: Pochefstroom
12 Du Plessis, (1982). Beangste en nie-beangste eerstejaardamestudente:' Klinies-psigologiese verkenning . Ongepubliseerde doktorale proefskrif, Pochefstroom Universiteit vir CHO: Pochefstroom.
© 1996 The Mozart Center
In memoriam Dr. Alfred Tomatis
El 25 de diciembre 2001, el día de la Navidad, Dr. Tomatis falleció.
Unos días después, su esposa Léna, quien ha apoyado a su marido durante muchos años, escribió una reseña en honor a su marido.
“Ojalá pueda terminar la misión que me ha sido encomendada”
Queridos amigos:
De esta manera se expresaba mi esposo en el epígrafe de su autobiografía “El oído y la vida”, eso fue en 1976. Veinticinco años antes este sendero hacia la luz ya había comenzado. Veinticinco años después termina su carrera con un esfuerzo final donde el dolor está en pleno apogeo. Tenía prisa por encontrar la paz en su cuerpo y alma que tanto habían sufrido en el transcurso de estos cinco años.
Yo lo he seguido paso a paso en este camino hacia la eternidad, así pude apreciar la gran misericordia que siempre tuvo, día y noche, aceptando estas pruebas sin quejarse nunca y sonriendo desde los más profundo de su desesperanza. Me acordé entonces de las numerosas reflexiones que solía expresar en el momento en que más lo necesitaba, inspirándose en aquello que recibía de las alturas.
Con una humildad que se distinguía por la más grande sencillez, no hablaba jamás de sus ‘descubrimientos’ que siempre consideró como evidencias. Según él, lo que encontraba, le era ofrecido con el objeto de transmitir el maná a los seres humanos, del cual se benefició desde su infancia. ‘Recibirlo todo para darlo todo’ Tal era su lema. Este alimento providencial y milagroso enviado por el cielo, lo ponía siempre al servicio del prójimo con una generosidad que la mayor parte de sus pacientes y de sus alumnos han podido apreciar durante su existencia.
Yo acostumbraba decir que a menudo él estaba a trescientos metros sobre el suelo mientras yo trabajaba infructuosamente en tierra. Pero a veces yo tomaba el ascensor para ir a su encuentro en las alturas donde hacía bien viviendo lejos de las bajezas de este mundo. Allá podíamos platicar sobre el porvenir de todos aquellos que solicitaban nuestra ayuda. Abrigado de esperanzas, Tom no olvidaba nunca a aquellos que padecían de un malestar que podía calmar. Su sentido del deber siempre lo acompañó.
Cumplió ésta misión de modo magistral y no pienso que se haya ido dejándola inconclusa. Pasó por la tierra haciendo el bien a los pobres y heridos de este mundo, de una manera muy particular. Su inteligencia chispeante e intuitiva lo condujo a aliviar hasta el sufrimiento más profundo. En el corazón de su vida de trabajo ponía lo bello al servicio del bien. Llevó a cabo lo que podía hacerse y lo que debía hacerse, incluso más allá de toda dimensión humana, en un espíritu de solidaridad, dando testimonio de su inmensa bondad.
Esta misión debe proseguir, pues nuestra sociedad carece en ciertos ámbitos de las técnicas que hemos desarrollado y que podrían ser eficaces. Ya sea que se trate de la medicina, de la psicología, del arte o de la música, los trabajos emprendidos por mi esposo deben difundirse más allá de toda frontera con el fin de ser reconocidos por las instituciones concernientes a estas investigaciones.
Quisiera insistir en su fe, especialmente durante sus últimos cinco años de padecimientos físicos y morales. Por esta fe, confiado y apacible, se dejó conducir por Dios en una última etapa de abnegación total que aceptó dejando triunfar el amor en su afligido corazón. De una manera discreta, para la gran mayoría, vivió la sabiduría de la cruz en forma eminente.
Para contemplar el universo y primeramente para escucharlo, no sólo transmitió técnicas y teorías, sino ante todo un espíritu de servicio entre sus alumnos, sus colegas y sus pacientes, nutrido por el amor al prójimo.
Para él, es el término de un largo peregrinaje con momentos de sufrimiento para conseguir finalmente escuchar en su totalidad a Dios, a quien buscó toda su vida.
Nos dejó el día de Navidad. Es una gran prueba aceptar este paso en la muerte de un esposo muy amado, pero por parte de Dios, que día más hermoso para venir por su hijo y hacerlo renacer en plena vida divina.
Léna Tomatis
Traducido por Christian Rivera
Tomado del sitio:
http://www.tomatis.com/Spanish/pagina_nueva_1.htm
De un sitio relacionado a la comunidad de centros relacionado a la nueva disciplina científica creada por el Dr.Alfred Tomatis.
Unos días después, su esposa Léna, quien ha apoyado a su marido durante muchos años, escribió una reseña en honor a su marido.
“Ojalá pueda terminar la misión que me ha sido encomendada”
Queridos amigos:
De esta manera se expresaba mi esposo en el epígrafe de su autobiografía “El oído y la vida”, eso fue en 1976. Veinticinco años antes este sendero hacia la luz ya había comenzado. Veinticinco años después termina su carrera con un esfuerzo final donde el dolor está en pleno apogeo. Tenía prisa por encontrar la paz en su cuerpo y alma que tanto habían sufrido en el transcurso de estos cinco años.
Yo lo he seguido paso a paso en este camino hacia la eternidad, así pude apreciar la gran misericordia que siempre tuvo, día y noche, aceptando estas pruebas sin quejarse nunca y sonriendo desde los más profundo de su desesperanza. Me acordé entonces de las numerosas reflexiones que solía expresar en el momento en que más lo necesitaba, inspirándose en aquello que recibía de las alturas.
Con una humildad que se distinguía por la más grande sencillez, no hablaba jamás de sus ‘descubrimientos’ que siempre consideró como evidencias. Según él, lo que encontraba, le era ofrecido con el objeto de transmitir el maná a los seres humanos, del cual se benefició desde su infancia. ‘Recibirlo todo para darlo todo’ Tal era su lema. Este alimento providencial y milagroso enviado por el cielo, lo ponía siempre al servicio del prójimo con una generosidad que la mayor parte de sus pacientes y de sus alumnos han podido apreciar durante su existencia.
Yo acostumbraba decir que a menudo él estaba a trescientos metros sobre el suelo mientras yo trabajaba infructuosamente en tierra. Pero a veces yo tomaba el ascensor para ir a su encuentro en las alturas donde hacía bien viviendo lejos de las bajezas de este mundo. Allá podíamos platicar sobre el porvenir de todos aquellos que solicitaban nuestra ayuda. Abrigado de esperanzas, Tom no olvidaba nunca a aquellos que padecían de un malestar que podía calmar. Su sentido del deber siempre lo acompañó.
Cumplió ésta misión de modo magistral y no pienso que se haya ido dejándola inconclusa. Pasó por la tierra haciendo el bien a los pobres y heridos de este mundo, de una manera muy particular. Su inteligencia chispeante e intuitiva lo condujo a aliviar hasta el sufrimiento más profundo. En el corazón de su vida de trabajo ponía lo bello al servicio del bien. Llevó a cabo lo que podía hacerse y lo que debía hacerse, incluso más allá de toda dimensión humana, en un espíritu de solidaridad, dando testimonio de su inmensa bondad.
Esta misión debe proseguir, pues nuestra sociedad carece en ciertos ámbitos de las técnicas que hemos desarrollado y que podrían ser eficaces. Ya sea que se trate de la medicina, de la psicología, del arte o de la música, los trabajos emprendidos por mi esposo deben difundirse más allá de toda frontera con el fin de ser reconocidos por las instituciones concernientes a estas investigaciones.
Quisiera insistir en su fe, especialmente durante sus últimos cinco años de padecimientos físicos y morales. Por esta fe, confiado y apacible, se dejó conducir por Dios en una última etapa de abnegación total que aceptó dejando triunfar el amor en su afligido corazón. De una manera discreta, para la gran mayoría, vivió la sabiduría de la cruz en forma eminente.
Para contemplar el universo y primeramente para escucharlo, no sólo transmitió técnicas y teorías, sino ante todo un espíritu de servicio entre sus alumnos, sus colegas y sus pacientes, nutrido por el amor al prójimo.
Para él, es el término de un largo peregrinaje con momentos de sufrimiento para conseguir finalmente escuchar en su totalidad a Dios, a quien buscó toda su vida.
Nos dejó el día de Navidad. Es una gran prueba aceptar este paso en la muerte de un esposo muy amado, pero por parte de Dios, que día más hermoso para venir por su hijo y hacerlo renacer en plena vida divina.
Léna Tomatis
Traducido por Christian Rivera
Tomado del sitio:
http://www.tomatis.com/Spanish/pagina_nueva_1.htm
De un sitio relacionado a la comunidad de centros relacionado a la nueva disciplina científica creada por el Dr.Alfred Tomatis.
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